softmax和sigmiod

在机器学习和深度学习中，sigmoid和softmax是两种常用的激活函数，它们分别用于二分类和多元分类问题。

1. Sigmoid函数：
- 它是一个S型曲线，通常用于将输入映射到0到1之间，表达的是一个概率值。公式为：f(x) = 1 / (1 + e^(-x))。
- 特点：对于二分类问题（输出是一个概率），sigmoid函数可以将输出解释为正类的概率，另一个是1减去这个概率。
- 缺点：当输出层有多于两个类别时，sigmoid会受到梯度消失问题的影响，因为接近饱和时梯度非常小。

2. Softmax函数：
- Softmax是一种归一化指数函数，用于多元分类问题（如多标签或多类别），将每个神经元的输出转化为一个概率分布，所有输出之和为1。
- 公式为：softmax(xi) = e^xi / Σ(e^xj)，其中xi是第i个神经元的输出，Σ表示所有神经元输出的指数和。
- 特点：softmax确保了预测的每个类别的概率总和为1，使得它们可以直接被解释为预测的概率。
- 优点：在多类别问题中，softmax解决了sigmoid的问题，梯度不会消失或爆炸，并提供了明确的概率解释。

相关问题

softmax和softmax2d

softmax是一种常用的激活函数，主要用于多分类问题中。它将一个向量的实数值转化为概率分布，使得每个元素的取值范围在0到1之间，并且所有元素的和为1。softmax函数的定义如下：

对于一个具有n个元素的向量x = [x1, x2, ..., xn]，softmax函数的计算公式如下：

softmax(x) = [e^x1 / (e^x1 + e^x2 + ... + e^xn), e^x2 / (e^x1 + e^x2 + ... + e^xn), ..., e^xn / (e^x1 + e^x2 + ... + e^xn)]

其中，e表示自然对数的底数。

softmax2d是对二维矩阵进行softmax操作的扩展。它将每一行作为一个向量，对每一行进行softmax操作，得到一个概率分布。这样可以处理多个样本同时进行分类。

softmax和 Predictive

### Softmax 函数在预测建模中的作用

Softmax 函数广泛应用于多分类问题，在机器学习模型中起到将线性变换后的输出转换成概率分布的作用。具体来说，给定一组输入分数 \( z_1, z_2,...,z_n \)，softmax 将这些数值映射到范围为 (0, 1) 的区间内，并确保所有输出的概率总和等于 1。

#### 数学表达式
Softmax 函数定义如下：

\[
S(y_i) = \frac{e^{y_i}}{\sum_{j=1}^{n}{e^{y_j}}}
\]

其中 \( y_i \) 表示第 i 类别的得分或未归一化的对数几率(logit)[^2]。

这种特性使得 softmax 成为了处理多类别分类的理想选择，因为其不仅能够给出每个类别的相对可能性大小，还保持了整体上的概率一致性约束条件。

#### 应用场景
当构建一个可以区分多个不同标签的神经网络时，通常会在最后一层采用 softmax 层来获得最终的分类决策。例如，在自然语言生成(NLG)任务中，通过训练好的神经语言模型(neural language model)，可以根据上下文环境预测下一个最有可能出现单词的位置及其对应的词汇表索引。

import numpy as np

def softmax(x):
    """Compute the softmax of vector x."""
    e_x = np.exp(x - np.max(x))
    return e_x / e_x.sum()

logits = [2.0, 1.0, 0.1]
probs = softmax(logits)
print(probs)

上述代码展示了如何计算三个候选选项 {A,B,C} 对应 logit 值分别为 2.0、1.0 和 0.1 下各自被选中的概率。