设Q为有理数集，笛卡尔集S=Q×Q，*是S上的二元运算，<a, b>,<x, y>∈S, <a, b>*<x, y>=<ax, y+b>, <a, b>∈S, 若a≠0，则<a, b>的逆元是________________

逆元的定义是，对于一个元素a，存在一个元素b，使得a * b = b * a = 幺元。在本题中，我们需要寻找有理数对<a, b>的逆元，使得<a, b>*<a^(-1), -b/a> = <1, 0>。因此，我们可以解以下方程组：

aa^(-1) = 1
b(-b/a) = 0

第一个方程可以解得a^(-1) = 1/a（其中a≠0）。第二个方程可以得到b = 0或b = -a，因此有理数对<a, b>的逆元可以是<a^(-1), -b/a> = <1/a, 0>或<-1/a, 1>。

需要注意的是，只有当a≠0时，<a, b>才有逆元。当a=0时，<a, b>没有逆元。

相关问题

设Q为有理数集，笛卡尔集S=Q×Q，*是S上的二元运算，<a, b>,<x, y>∈S, <a, b>*<x, y>=<ax, y+b>, 则*运算的幺元是____

首先，我们需要知道幺元的定义：对于一个二元运算，在其中存在一个元素，使得这个元素和任何其他元素结合起来的结果都等于另一个元素本身。在本题中，我们需要寻找一个元素，使得对于任何一个有理数对<a, b>，都有<a, b>*幺元=<a, b>和幺元*<a, b>=<a, b>成立。

因此，我们可以设幺元为<e, f>，其中e和f为有理数。那么，对于任意一个有理数对<a, b>，有：

<a, b>*<e, f> = <ae, b+f> = <a, b>
<e, f>*<a, b> = <ea, f+b> = <a, b>

根据以上两个等式，我们可以得到以下两个方程：

ae = a
b + f = b

由第一个等式可以得到e = 1，代入第二个等式可以得到f = 0。因此，幺元为<1, 0>。

因此，*运算的幺元是<1, 0>。

A和B的笛卡尔积为空集等价于A为空集或者B为空集证明

要证明A和B的笛卡尔积为空集等价于A为空集或者B为空集，需要证明以下两个命题：

1. 若A和B的笛卡尔积为空集，则A为空集或者B为空集；
2. 若A为空集或者B为空集，则A和B的笛卡尔积为空集。

证明第一个命题：

假设A和B的笛卡尔积为空集，那么对于A中的任意一个元素a和B中的任意一个元素b，都不满足(a,b)属于A和B的笛卡尔积。因此，对于A中的任意一个元素a，都不存在B中的任意一个元素b，使得(a,b)属于A和B的笛卡尔积。因此，A为空集。

同理，对于B中的任意一个元素b，都不存在A中的任意一个元素a，使得(a,b)属于A和B的笛卡尔积。因此，B为空集。

因此，A和B的笛卡尔积为空集等价于A为空集或者B为空集。

证明第二个命题：

假设A为空集，那么A和B的笛卡尔积为空集，因为对于A中的任意一个元素a，都不存在B中的任意一个元素b，使得(a,b)属于A和B的笛卡尔积。

同理，若B为空集，那么A和B的笛卡尔积为空集。

因此，A为空集或者B为空集等价于A和B的笛卡尔积为空集。

综上所述，A和B的笛卡尔积为空集等价于A为空集或者B为空集。