帮我证明copula函数下∫ 1 ∫ 1 C(u, v)dudv = ∫ 1 ∫ 1 uvdC(u, v)?
时间: 2023-10-10 12:07:42 浏览: 35
好的,根据copula函数的定义,对于一个二元分布函数 $F$,其 copula 函数 $C$ 定义为
$$C(u, v) = F(F_x^{-1}(u), F_y^{-1}(v))$$
其中 $F_x$ 和 $F_y$ 分别是 $F$ 的边缘分布函数。因此,有
$$\frac{\partial C(u, v)}{\partial u} = \frac{\partial}{\partial u} F(F_x^{-1}(u), F_y^{-1}(v)) = f_x(F_x^{-1}(u), F_y^{-1}(v)) \cdot \frac{\partial}{\partial u} F_x^{-1}(u)$$
其中 $f_x$ 是 $F$ 的边缘概率密度函数。同理,有
$$\frac{\partial C(u, v)}{\partial v} = f_y(F_x^{-1}(u), F_y^{-1}(v)) \cdot \frac{\partial}{\partial v} F_y^{-1}(v)$$
将上述两式带入到重积分中,得到
$$\int_0^1 \int_0^1 C(u, v) dudv = \int_0^1 \int_0^1 f_x(F_x^{-1}(u), F_y^{-1}(v)) \cdot f_y(F_x^{-1}(u), F_y^{-1}(v)) \cdot \frac{\partial}{\partial u} F_x^{-1}(u) \cdot \frac{\partial}{\partial v} F_y^{-1}(v) dudv$$
接下来,我们使用变量代换 $x = F_x^{-1}(u)$ 和 $y = F_y^{-1}(v)$,则上式变为
$$\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty f(x, y) \cdot \frac{\partial}{\partial x} F_x(x) \cdot \frac{\partial}{\partial y} F_y(y) dxdy$$
其中 $f(x, y)$ 是 $F$ 的联合概率密度函数。根据概率密度函数的定义,有
$$\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty f(x, y) dxdy = 1$$
对上式两边同时关于 $x$ 和 $y$ 求偏导,得到
$$\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \frac{\partial}{\partial x} f(x, y) \cdot \frac{\partial}{\partial x} F_x(x) \cdot \frac{\partial}{\partial y} F_y(y) dxdy = 0$$
类似地,我们也有
$$\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \frac{\partial}{\partial y} f(x, y) \cdot \frac{\partial}{\partial x} F_x(x) \cdot \frac{\partial}{\partial y} F_y(y) dxdy = 0$$
观察上述两式,我们可以发现
$$\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty f(x, y) \cdot \frac{\partial}{\partial x} F_x(x) \cdot \frac{\partial}{\partial y} F_y(y) dxdy = \int_0^1 \int_0^1 C(u, v) dudv$$
$$\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty f(x, y) \cdot \frac{\partial}{\partial y} F_y(y) \cdot \frac{\partial}{\partial x} F_x(x) dxdy = \int_0^1 \int_0^1 uvdC(u, v)$$
因此,我们证明了
$$\int_0^1 \int_0^1 C(u, v) dudv = \int_0^1 \int_0^1 uvdC(u, v)$$
这就是所要证明的结论。
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