请简述一下softmax回归模型

Softmax回归模型是一种多分类模型，常用于将输入向量映射到多个类别之一。它包括一个线性变换和一个softmax操作。假设有 $K$ 个类别，模型的输入是一个 $d$ 维向量 $\boldsymbol{x}$，线性变换后得到一个长度为 $K$ 的向量 $\boldsymbol{z}$，其中第 $k$ 个元素表示输入属于第 $k$ 类的得分。具体来说，线性变换可以表示为 $\boldsymbol{z} = \boldsymbol{W}\boldsymbol{x} + \boldsymbol{b}$，其中 $\boldsymbol{W}$ 是一个 $K \times d$ 的权重矩阵，$\boldsymbol{b}$ 是一个 $K$ 维偏置向量。然后，使用softmax函数将得分转换为概率分布，即 $\hat{\boldsymbol{y}} = \mathrm{softmax}(\boldsymbol{z})$，其中 $\hat{\boldsymbol{y}}$ 是一个 $K$ 维向量，表示模型预测的每个类别的概率。softmax函数的定义为：

$$\mathrm{softmax}(\boldsymbol{z})_i = \frac{\exp(z_i)}{\sum_{j=1}^{K}\exp(z_j)}, i = 1,2,\dots,K.$$

模型的训练目标通常是最大化训练数据上的对数似然函数，即最小化负对数似然损失函数：

$$\ell(\boldsymbol{\theta}) = -\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{K} y_{i,k}\log\hat{y}_{i,k},$$

其中 $\boldsymbol{\theta}$ 包括权重矩阵 $\boldsymbol{W}$ 和偏置向量 $\boldsymbol{b}$，$y_{i,k}$ 是第 $i$ 个样本的第 $k$ 个类别的真实标签，$\hat{y}_{i,k}$ 是模型对第 $i$ 个样本的第 $k$ 个类别的预测概率。最小化该损失函数可以使模型的预测尽可能接近真实标签。