设I=∫∫根号（R^2-x^2-y^2）dxdy，D是由x^2+y^2=R^2所围的闭区域，则I=？A.1/9R^3（3π-4） B.0 C.-1/9R^3（3π-4）D.2/3πR^3

将积分区域转化为极坐标系下的积分区域，有：
$$
I=\int_{0}^{R} \int_{0}^{2\pi} \sqrt{R^2-r^2} \ r \ d\theta \ dr
$$
对于 $\int_{0}^{2\pi} d\theta$ 部分，它是一个常数，可以先进行计算，有：
$$
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi
$$
对于 $\int_{0}^{R} \sqrt{R^2-r^2} \ r \ dr$ 部分，可以进行变量代换 $u=R^2-r^2$，有：
$$
I=\int_{0}^{R} \int_{0}^{2\pi} \sqrt{R^2-r^2} \ r \ d\theta \ dr = \int_{0}^{R} \sqrt{R^2-r^2} \ r \ dr \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi \int_{0}^{R} \sqrt{R^2-r^2} \ r \ dr
$$
对于 $\int \sqrt{R^2-r^2} \ r \ dr$ 部分，可以进行变量代换 $r=R\sin\theta$，有：
$$
\int \sqrt{R^2-r^2} \ r \ dr = \int R^2\sin^2\theta \ d\theta = -\frac{1}{2}R^2\cos\theta\sin\theta + \frac{1}{2}R^2\theta
$$
带回原式，有：
$$
\begin{aligned}
I &= 2\pi \int_{0}^{R} \sqrt{R^2-r^2} \ r \ dr \\
&= 2\pi \left(-\frac{1}{2}R^2\cos\theta\sin\theta + \frac{1}{2}R^2\theta\right)\Bigg|_{0}^{R} \\
&= \pi R^3 - \pi R^3 \cos\theta\sin\theta \\
&= \pi R^3 - \frac{1}{2}\pi R^3 \sin2\theta \\
&= \pi R^3 - \frac{1}{2}\pi R^3 \sin\left(2\arccos\frac{x}{R}\right)
\end{aligned}
$$
所以选项A. $1/9R^3(3\pi-4)$ 是正确的。