给一个 N 个数的数组表示二进制下的一个数，有 M 次操作，每次操作为以下其中之一。 操作一：给出 L, R，输出这个区间内的数十进制表示。 操作二：判断第 X 位是 1 还是 0。 操作三：将第 X 位取反。 Input 输入第一行两个整数 N, M，代表数组有 N 个数，有 M 次操作。 接下来的一行输入仅由 0 和 1 表示的 N 个数， 接下来的 M 行，每行先输入一个 op。 如果 op = 1，输入 L, R，输出 L 到 R 这个区间内的数十进制表示（数据保证答案不超过 int 范围）。 如果 op = 2，输入 X，输出第 X 位的数是多少。 如果 op = 3，将第 X 位取反，0 变成 1,1 变成 0。 数据范围：1 ≤ L ≤ R ≤ N ≤ 10000, 1 ≤ X ≤ N ≤ 10000, 1 ≤ M ≤ 100

我们可以使用一个数据结构来维护这个二进制数组。为了快速维护区间和，我们可以使用树状数组。对于操作二和操作三，我们可以使用单点修改和区间查询的树状数组。

首先，让我们来实现操作一。为了求出一个区间内的数的十进制表示，我们需要知道区间内每一位二进制的值。我们可以使用树状数组维护每一位的值。对于区间 [L, R]，我们可以用下面的公式计算结果：

result = sum[R] - sum[L - 1]

其中，sum[i] 表示前 i 位的值。

接下来，让我们来实现操作二。我们可以使用树状数组维护每一位的值，然后查询第 X 位的值即可。

最后，让我们来实现操作三。我们可以使用单点修改的树状数组，将第 X 位取反即可。

总结一下，我们可以使用树状数组来维护这个二进制数组，实现快速的区间查询、单点修改和区间求和。

相关问题

本题重新定义队列出队的操作：队首出队的数字重新在队尾入队。 例：队列中有1 2 3三个数字，现要求队首出队，则1从队首出队，同时1从队尾入队，队列变成2 3 1。 入队的顺序为1,2,3,4......n，同时给一个二进制字符串，1代表出队操作，0代表入队操作。 输入格式: 在第一行有两个数字n,m(n<=100,n<m)，其中n为入队的数字个数，m代表操作数 接下来m行，每行一个数字，1或者0，代表不同的操作 输出格式: 输出操作后队列的每个数字，数字间以空格分隔，最后一个数字后没有空格 输入样例: 5 8 0 0 1 0 1 0 1 0 输出样例: 3 2 4 1 5

题目描述

本题重新定义队列出队的操作：队首出队的数字重新在队尾入队。

例：队列中有1 2 3三个数字，现要求队首出队，则1从队首出队，同时1从队尾入队，队列变成2 3 1。

入队的顺序为1,2,3,4……n，同时给一个二进制字符串，1代表出队操作，0代表入队操作。

输入格式:
在第一行有两个数字n,m(n<=100,n<m)，其中n为入队的数字个数，m代表操作数

接下来m行，每行一个数字，1或者0，代表不同的操作

输出格式:
输出操作后队列的每个数字，数字间以空格分隔，最后一个数字后没有空格

输入样例:
5 8
0
0
1
0
1
0
1
0
输出样例:
3 2 4 1 5

算法1

(模拟) $O(m*n)$

首先按题目要求进行模拟，考虑到每次操作后队首元素会重新入队，因此需要使用队列来模拟。同时，每次出队操作后，将队首元素重新入队，可以直接将队首元素出队然后再入队即可。

时间复杂度

每个元素最多被访问两次，因此时间复杂度为$O(m*n)$。

空间复杂度

需要开辟一个队列空间，因此空间复杂度为$O(n)$。

C++ 代码

算法2

(优化) $O(m)$

由于每次出队操作后，队首元素重新入队，因此我们可以不必真正地将队首元素出队再入队，而是记录下队首元素，然后让队首指针向右移动一个位置。当队首指针移动到队列末尾时，将其置为0，类似于循环数组的实现。

时间复杂度

每个元素最多被访问两次，因此时间复杂度为$O(m)$。

空间复杂度

只需要开辟一个数组空间，因此空间复杂度为$O(n)$。

C++ 代码

2)提高题 根据Huffman编码原理，编写一个在用户输入结点权重的基础上建立的Huffman编码程序。 程序设计思路: 构造一棵Huffman树，由此得到的二进制前缀便为Huffman编码。 由于Huffmnn树没有度为1的结点，则一棵有n个叶子结点的Huffman树共有2n一1个结点，设计一个结 构数组，存储2n-1个结点的值，包括权重、父结点、左结点和右结点等

以下是基于Huffman编码原理的程序实现：

#include <iostream>
#include <queue>

using namespace std;

// 定义Huffman树结点
typedef struct HuffmanNode
{
    int weight;                 // 权值
    int parent, lchild, rchild; // 父结点和左右子结点
}HuffmanNode, *HuffmanTree;

// 构建Huffman树
void CreateHuffmanTree(HuffmanTree &HT, int *w, int n)
{
    if (n <= 1)
        return;

    int m = 2 * n - 1;
    HT = new HuffmanNode[m + 1];
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        HT[i] = { w[i - 1], 0, 0, 0 };
    for (int i = n + 1; i <= m; i++)
        HT[i] = { 0, 0, 0, 0 };

    // 构建Huffman树
    for (int i = n + 1; i <= m; i++)
    {
        int s1 = 0, s2 = 0;
        int min1 = INT_MAX, min2 = INT_MAX;
        for (int j = 1; j < i; j++)
        {
            if (HT[j].parent == 0)
            {
                if (HT[j].weight < min1)
                {
                    min2 = min1;
                    s2 = s1;
                    min1 = HT[j].weight;
                    s1 = j;
                }
                else if (HT[j].weight < min2)
                {
                    min2 = HT[j].weight;
                    s2 = j;
                }
            }
        }

        HT[s1].parent = i;
        HT[s2].parent = i;
        HT[i].lchild = s1;
        HT[i].rchild = s2;
        HT[i].weight = HT[s1].weight + HT[s2].weight;
    }
}

// 获取Huffman编码
void GetHuffmanCode(HuffmanTree HT, char **HC, int n)
{
    char *cd = new char[n];
    cd[n - 1] = '\0';

    // 逐个叶子结点获取Huffman编码
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        int start = n - 1;
        int c = i;
        int f = HT[i].parent;
        while (f != 0)
        {
            if (HT[f].lchild == c)
                cd[--start] = '0';
            else
                cd[--start] = '1';
            c = f;
            f = HT[f].parent;
        }
        HC[i - 1] = new char[n - start];
        strcpy(HC[i - 1], &cd[start]);
    }

    delete[] cd;
}

int main()
{
    int n;
    cout << "请输入叶子结点的个数：";
    cin >> n;

    int *w = new int[n];
    cout << "请输入每个叶子结点的权重值：";
    for (int i = 0; i < n; i++)
        cin >> w[i];

    HuffmanTree HT;
    CreateHuffmanTree(HT, w, n);

    char **HC = new char*[n];
    GetHuffmanCode(HT, HC, n);

    cout << "Huffman编码如下：" << endl;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        cout << "权值为 " << w[i] << " 的叶子结点的编码为 " << HC[i] << endl;

    return 0;
}

在这个程序中，我们首先根据用户输入的叶子结点权重值构建Huffman树。构建Huffman树的方法是，先将n个叶子结点作为树的n个初始结点，然后每次选取两个权值最小的结点作为新的父结点，直到构建出一棵含有2n-1个结点的Huffman树。这里我们使用了一个结构体数组来存储每个结点的权值、父结点和左右子结点等信息。

在构建完Huffman树后，我们需要获取每个叶子结点的Huffman编码。我们使用一个字符指针数组来存储每个叶子结点的编码。获取编码的方法是，从每个叶子结点开始，沿着父结点不断向上，每次记录下从当前结点到父结点之间的路径，直到到达Huffman树的根结点。最后将记录下来的路径反转就得到了该叶子结点的Huffman编码。

最后，在程序中输出每个叶子结点的权值和Huffman编码，以验证程序的正确性。