给我一个LQR算法实现控制的例子及说明

LQR（线性二次型调节）是一种经典的控制算法，用于设计有效的控制器。下面给出一个简单的例子来说明如何使用LQR算法。

假设有一个双摆系统，其中第二个摆是挂在第一个摆上的。系统的状态包括两个角度和两个角速度。我们的目标是设计一个控制器，使得两个摆的角度保持在特定值附近。

首先，将系统建模为一个线性时不变系统，即

x_dot = Ax + Bu

其中 x 是状态向量，A 是状态转移矩阵，B 是输入矩阵，u 是控制输入。

然后，我们需要定义一个代价函数，用于衡量每个状态的代价。在这里，我们选择一个二次型代价函数，即

J = ∫(x^TQx + u^TRu)dt

其中 Q 和 R 是正定矩阵，分别表示状态和控制代价。这个代价函数的目标是最小化状态和控制输入的加权和。

最后，通过求解 Riccati 方程，可以得到最优控制器的增益矩阵 K。最优控制器形式为：

u = -Kx

下面是代码实现：

import numpy as np
import control

# 系统参数
m1 = 1.0
m2 = 2.0
l1 = 1.0
l2 = 2.0
g = 9.8

# 系统动态方程
A = np.array([[0, 0, 1, 0],
              [0, 0, 0, 1],
              [(m1+m2)*g/l1, m2*g/l1, 0, 0],
              [m2*g/(m1*l2+l1*l2*m2), (m1+m2)*g/(l1*m1*l2+l1*l2*m2), 0, 0]])

B = np.array([[0],
              [0],
              [-1/(m1*l1)],
              [1/(m1*l1+l1*l2*m2)]])

# 代价函数参数
Q = np.diag([10, 10, 1, 1])
R = np.diag([0.01])

# LQR控制器
K, S, E = control.lqr(A, B, Q, R)

# 系统模拟
t = np.arange(0, 10, 0.1)
x0 = np.array([0.1, 0.2, 0, 0])
x = control.StateSpace(A-B@K, B, np.eye(4), np.zeros((4, 1))).step_response(t, X0=x0)

# 绘图
import matplotlib.pyplot as plt

plt.figure()
plt.plot(t, x[0], label='theta1')
plt.plot(t, x[1], label='theta2')
plt.legend()
plt.xlabel('Time (s)')
plt.ylabel('Angle (rad)')
plt.grid()

plt.figure()
plt.plot(t, K @ x, label='Control input')
plt.legend()
plt.xlabel('Time (s)')
plt.ylabel('Control input')
plt.grid()

plt.show()

这个例子中，我们使用 Python 的控制工具包 control 来实现 LQR 控制器。在控制器设计完成后，我们将系统模拟了10秒，然后将结果绘制出来。可以看到，在控制器的作用下，两个摆的角度保持在特定值附近，控制输入也保持在可接受的范围内。