概率论正态分布的线性关系

正态分布是概率论和数理统计中最重要的一类概率分布之一，其线性关系可以通过多个正态分布随机变量的线性组合来描述。具体来说，如果X1,X2,...,Xn是独立的正态分布随机变量，且a1,a2,...,an是常数，则它们的线性组合Y=a1X1+a2X2+...+anXn也是正态分布随机变量。此时，Y的均值为μ=a1μ1+a2μ2+...+anμn，方差为σ^2=a1^2σ1^2+a2^2σ2^2+...+an^2σn^2。其中，μ1,μ2,...,μn和σ1^2,σ2^2,...,σn^2分别是X1,X2,...,Xn的均值和方差。

举个例子，假设有两个独立的正态分布随机变量X1和X2，均值分别为μ1和μ2，方差分别为σ1^2和σ2^2。则它们的线性组合Y=aX1+bX2也是正态分布随机变量，其中a和b是常数。Y的均值为μ=aμ1+bμ2，方差为σ^2=a^2σ1^2+b^2σ2^2。这个线性组合在实际应用中非常常见，例如在金融领域中，我们经常需要计算不同证券的组合收益率，而这些证券的收益率往往是正态分布的。