共轭梯度法求解对称正定线性方程组的matlab代码

以下是使用共轭梯度法求解对称正定线性方程组的 Matlab 代码：

function [x, iter] = conjGrad(A, b, x0, tol, maxiter)
% INPUTS:
% A - 对称正定矩阵
% b - 右侧向量
% x0 - 初始解向量
% tol - 容差
% maxiter - 最大迭代次数
%
% OUTPUTS:
% x - 迭代的解向量
% iter - 迭代次数

% 初始化变量
r = b - A*x0;
p = r;
x = x0;
iter = 0;

while norm(r) > tol && iter < maxiter
    iter = iter + 1;
    alpha = (r'*r) / (p'*A*p);
    x = x + alpha*p;
    r_new = r - alpha*A*p;
    beta = (r_new'*r_new) / (r'*r);
    p = r_new + beta*p;
    r = r_new;
end

end

其中，输入的矩阵 A 必须是对称正定矩阵，否则共轭梯度法可能无法收敛。函数返回的解向量 x 和迭代次数 iter 都可以用于评估算法的效果和收敛速度。

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共轭梯度法求解对称正定线性方程组matlab代码

以下是使用共轭梯度法求解对称正定线性方程组的 MATLAB 代码：

function [x,flag,iter,residual] = cg(A,b,x0,tol,maxit)

% 初始化
n = size(A,1);
x = x0;
r = b - A*x;
p = r;
iter = 0;
residual = norm(r);

% 迭代
while residual > tol && iter < maxit
    Ap = A*p;
    alpha = (r'*r)/(p'*Ap);
    x = x + alpha*p;
    r_old = r;
    r = r - alpha*Ap;
    beta = (r'*r)/(r_old'*r_old);
    p = r + beta*p;
    residual = norm(r);
    iter = iter + 1;
end

% 输出结果
if residual <= tol
    flag = 0; % 成功收敛
else
    flag = 1; % 迭代达到最大次数但未收敛
end

其中，输入参数为：

- A：对称正定矩阵（必须是方阵）。
- b：列向量，表示方程组 Ax=b 中的 b 向量。
- x0：列向量，表示迭代的初始解。
- tol：标量，表示迭代停止的相对残差阈值。
- maxit：标量，表示最大迭代次数。

输出参数为：

- x：列向量，表示方程组 Ax=b 的解。
- flag：标量，表示迭代的收敛情况，flag = 0 表示成功收敛，flag = 1 表示迭代达到最大次数但未收敛。
- iter：标量，表示迭代次数。
- residual：标量，表示最终的相对残差。

使用方法：

假设要求解的线性方程组为 Ax = b，其中 A 是一个对称正定矩阵，b 是一个列向量，可以按照以下方式调用 cg 函数：

A = ...; % 对称正定矩阵
b = ...; % 列向量
x0 = ...; % 初始解
tol = ...; % 相对残差阈值
maxit = ...; % 最大迭代次数
[x,flag,iter,residual] = cg(A,b,x0,tol,maxit);

其中，x 是求解得到的列向量，flag 表示迭代的收敛情况，iter 表示迭代次数，residual 表示最终的相对残差。

用共轭梯度法解对称正定方程组matlab

共轭梯度法（Conjugate Gradient Method, CG）是一种高效的迭代方法，用于求解大规模线性系统中的最小二乘问题，特别是对于对称正定矩阵（Symmetric Positive Definite, SPD）的情况。在MATLAB中，你可以使用内置的`conjugate gradients`函数或`pcg`函数来实现共轭梯度算法。

以下是使用`pcg`函数求解对称正定方程组的基本步骤：

1. 初始化：
- 定义一个对称正定矩阵`A`和一个对应的向量`b`，它们应是`sparse`或`full`形式。
- 创建一个初始猜测解向量`x0`。

A = ... % 对称正定矩阵
b = ... % 目标向量
x0 = zeros(size(b)); % 初始猜测解

2. 调用`pcg`函数：
- `pcg`函数的语法是`[x, flag] = pcg(A, b, x0, options)`，其中：
- `x`: 结果向量，估计的解。
- `flag`: 返回一个标志，如果成功则为0，否则表示错误。
- `x0`: 初始猜测解。
- `options`: 可选参数，比如最大迭代次数、绝对或相对精度等。

options = optimoptions(@pcg, 'Display', 'none'); % 隐藏迭代过程
[x, flag] = pcg(A, b, x0, options);

3. 检查结果：
- `flag`为0表示求解成功，`x`即为近似解。如果`flag`不为0，可能需要检查矩阵是否对称正定、初始猜测是否合适或其他输入问题。