求拉氏变换，t<0时,x(t)=0:(1) x(t)=2+3t+4t^2

根据拉氏变换的定义，有：

$\mathcal{L}\{x(t)\} = X(s) = \int_{0}^{\infty} x(t)e^{-st} dt$

因为在$t<0$时$x(t)=0$，所以可以将积分下限改为$-\infty$：

$X(s) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-st} dt = \int_{0}^{\infty} x(t)e^{-st} dt$

然后将$x(t)$代入上式，得到：

$X(s) = \int_{0}^{\infty} (2+3t+4t^2) e^{-st} dt$

对上式进行积分，得到：

$X(s) = \frac{2}{s} + \frac{3}{s^2} + \frac{8}{s^3}$

因此，拉氏变换为：

$\mathcal{L}\{x(t)\} = X(s) = \frac{2}{s} + \frac{3}{s^2} + \frac{8}{s^3}$，其中$t<0$。

相关问题

已知一稳定LTI系统的系统函数为：H（s）=（s+4）/s^2+5s+6 (1)若输入信号为x(t)=e^(-4t)u(t)(2)若输入信号为x(t)=e^t 求系统输出

对于问题1，我们可以使用拉普拉斯变换的方法求解系统的输出。首先，对输入信号进行拉普拉斯变换，得到X(s) = 1 / (s + 4)。然后，将输入信号的拉普拉斯变换代入系统函数中，得到系统的传递函数为：

H(s) = (s + 4) / (s^2 + 5s + 6)

将传递函数和输入信号的拉普拉斯变换相乘，得到系统的输出信号的拉普拉斯变换：

Y(s) = X(s) * H(s) = 1 / (s + 4) * (s + 4) / (s^2 + 5s + 6) = 1 / (s^2 + 5s + 6)

对输出信号的拉普拉斯变换进行反演变换，得到系统的输出信号：

y(t) = e^(-2t) - e^(-3t)

对于问题2，同样可以使用拉普拉斯变换的方法求解系统的输出。对输入信号进行拉普拉斯变换，得到X(s) = 1 / (s - 1)。将输入信号的拉普拉斯变换代入系统函数中，得到系统的传递函数为：

H(s) = (s + 4) / (s^2 + 5s + 6)

将传递函数和输入信号的拉普拉斯变换相乘，得到系统的输出信号的拉普拉斯变换：

Y(s) = X(s) * H(s) = 1 / (s - 1) * (s + 4) / (s^2 + 5s + 6) = (s + 4) / [(s - 1)(s + 3)]

对输出信号的拉普拉斯变换进行反演变换，得到系统的输出信号：

y(t) = 2e^(-t) - e^(-3t)

已知一稳定LTI系统的系统函数为：H（s）=（s+4）/（s^2+5s+6）（1）画出表征该系统的方框图（2）求出该系统的单位冲激响应h（t）（3）若输入信号为x（t）=e^（-4t）u（t） 求系统输出（4）若输入信号x（她）

（1）该系统的方框图如下所示：

      +----->(s+4)----+
      |               |
x(s)--|---[H(s)]--->y(s)--
      |               |
      +------(s^2+5s+6)-+

其中，x(s) 和 y(s) 分别表示输入和输出信号在 Laplace 变换域中的表示，[H(s)] 表示系统的传递函数。

（2）系统的单位冲激响应 h(t) 可以通过对系统传递函数 H(s) 进行部分分式分解，然后反演回时间域得到：

H(s) = (s+4) / (s^2+5s+6) = 1/(s+2) - 1/(s+3)

h(t) = e^(-2t) u(t) - e^(-3t) u(t)

其中，u(t) 表示单位阶跃函数。

（3）当输入信号为 x(t) = e^(-4t) u(t) 时，可以利用卷积定理和单位冲激响应 h(t) 计算系统输出 y(t)：

y(t) = x(t) * h(t) = ∫[0,t] x(τ) h(t-τ) dτ

= ∫[0,t] e^(-4τ) [e^(-2(t-τ)) - e^(-3(t-τ))] dτ

= e^(-2t) ∫[0,t] e^(2τ) dτ - e^(-3t) ∫[0,t] e^(3τ) dτ

= (1/2) (1 - e^(-2t)) u(t) - (1/3) (1 - e^(-3t)) u(t)

其中，* 表示卷积运算，τ 表示积分变量。

（4）由于未给定输入信号 x(t) 的表达式，无法直接计算系统的输出 y(t)。如果有输入信号的表达式，可以采用类似于上面的方法，通过卷积计算得到系统的输出。