01背包问题动态规划pta

01背包问题是一个经典的动态规划问题，其基本思路是将问题转化为一个二维的状态转移方程。具体来说，我们可以定义一个二维数组dp[i][j]表示前i个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。状态转移方程为：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])

其中w[i]和v[i]分别表示第i个物品的重量和价值。

相关问题

回溯法解决01背包问题pta

### 使用回溯法求解01背包问题

#### 01 背包问题描述
给定 n 种物品和一个容量为 C 的背包，每种物品仅有一件。第 i 件物品的价值为 v[i] ，重量为 w[i] 。问如何选择装入背包中的物品，使得所选物品的总价值最大。

#### 回溯法基本原理
回溯法通过构建解空间树来解决问题，在这棵树中每一个节点代表一种可能的选择组合。对于01背包问题来说，解空间是一棵二叉树，其中左子树表示不放入当前考虑的物品，右子树则表示放入该物品[^2]。

#### 解题思路
为了实现上述过程，程序需要定义几个全局变量用于记录最佳装载方案的最佳价值 `bestValue` 和对应的选取状态数组 `judgeArray[]`；另外还需要有输入数据的相关参数如物品数量 `numItem`, 物品编号列表 `orderID[]` , 各个物品单位价值排序后的索引位置等辅助结构体或向量支持高效计算逻辑处理流程。

具体而言：

- 初始化阶段读取测试案例的数据并完成必要的预处理工作；
- 接着调用函数按照单位价值降序排列各物件的信息以便后续剪枝操作更有效率；
- 开始执行递归形式的核心算法部分——回溯搜索整个决策路径直至找到最优解为止；
- 最终输出结果给出最高可获得收益以及对应的具体挑选情况说明。

#### 示例代码
以下是基于C++编写的简单版本的01背包问题解决方案:

#include<iostream>
using namespace std;

const int MAXN = 105;
double weight[MAXN], value[MAXN];
bool judgeArray[MAXN]; // 记录是否选择了某个物体
int numItem, capacity;
double bestValue = 0.0;

// 辅助功能：按性价比从高到低对项目进行分类整理
void UnitValueSort(){
    // 实现细节省略...
}

// 主要方法：采用回溯策略探索所有可能性
void BackTracking(int index){
    if(index > numItem){ // 判断终止条件
        double currentValue = 0.0;
        for(int i=1;i<=numItem;++i)
            if(judgeArray[i]) currentValue += value[i];

        if(currentValue>bestValue) bestValue=currentValue;
        return ;
    }

    // 尝试不拿这个商品的情况
    BackTracking(index+1);

    // 如果还能放下这件货物，则尝试加入它
    if(weight[index]<=capacity){
        judgeArray[index]=true;
        capacity -= weight[index];
        
        BackTracking(index+1);
        
        // 恢复现场
        capacity+=weight[index];
        judgeArray[index]=false;
    }
}

此段代码实现了基础框架，实际应用时还需补充完整的输入/输出接口以及其他优化措施以提高效率和鲁棒性。

PTA背包问题1-01背包

### 关于 PTA 平台 1-0 背包问题的解题思路

#### 动态规划方法概述

对于PTA平台上涉及的1-0背包问题，可以采用动态规划的方法来解决。该类问题的目标是在给定容量的情况下最大化所选物品的价值总和[^1]。

#### 定义状态转移方程

定义二维数组`dp[i][j]`表示从前`i`个物品中选取若干放入一个容量为`j`的背包可以获得的最大价值。当考虑第`i`个物品时有两种情况：

-1)`个物品中选择的结果；
- 若选择当前物品，则需加上此物品的价值并减去其占用的空间再看剩余空间能容纳多少价值。

因此状态转移方程如下所示：

if(j >= w[i]) dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i]);
else          dp[i][j] = dp[i-1][j];

其中，`w[]`代表各物品重量数组；`v[]`代表对应的价值数组。

#### 初始化与边界条件处理

初始化时设置所有可能的状态初始值均为零(`dp[0][..]=0`)，即没有任何物品可供挑选的情况下的最高价值自然也为零。另外还需注意的是，在遍历过程中要确保不会访问越界的索引位置。

#### 实现代码片段

下面给出一段基于上述理论框架编写的简单C++程序用于求解标准形式的一维0/1背包问题：

#include<iostream>
using namespace std;

const int MAX_N = 1e3+5;
int n, V; // 物品数量 和 背包容积
int weight[MAX_N], value[MAX_N]; // 各物品质量和价格
int f[MAX_N];

void solve(){
    memset(f, 0, sizeof(f));
    
    for(int i=1;i<=n;++i){
        for(int j=V;j>=weight[i];--j){
            f[j] = max(f[j],f[j-weight[i]]+value[i]);
        }
    }

}

int main(){
    cin >> n >> V;
    for(int i=1;i<=n;++i)cin>>weight[i]>>value[i];
    solve();
    printf("%d\n",f[V]);

}