pta背包问题贪心法

pta背包问题是0-1背包问题的一种变体，它的名称来源于“Problem with Trapping Algorithm”，通常也称为动态规划陷阱算法的问题。在这个问题中，物品的重量不再是固定不变的，而是随着价值的增加而递增。贪心法在此问题上并不适用，因为它无法保证每一步选择都是最优的。

动态规划是解决pta背包问题的标准方法。基本思路是创建一个二维数组W[i][v]，其中i表示当前考虑的物品索引，v表示剩余容量。W[i][v]表示在前i个物品中，可以获得的最大价值，当剩余容量为v时。填充这个数组的过程需要从第一个物品开始，对于每个物品，有两种选择：要么包含它，要么不包含，然后分别更新状态。

算法步骤大致如下：
1. 初始化：W[0][v] = 0，表示没有物品时的价值。
2. 遍历物品：对于每个物品i，计算包含和不包含时的最大价值，并取较大者，即W[i][v] = max(W[i-1][v], W[i-1][v-w[i]] + v[i])。
3. 结果：最终结果是W[n][V]，n是物品总数，V是总容量。

由于贪心策略通常会选择局部最优解，但在pta背包问题中，全局最优解依赖于所有物品的相对价值和重量，所以贪心法并不能保证得到最优解。

相关问题

PTA背包问题1-01背包

### 关于 PTA 平台 1-0 背包问题的解题思路

#### 动态规划方法概述

对于PTA平台上涉及的1-0背包问题，可以采用动态规划的方法来解决。该类问题的目标是在给定容量的情况下最大化所选物品的价值总和[^1]。

#### 定义状态转移方程

定义二维数组`dp[i][j]`表示从前`i`个物品中选取若干放入一个容量为`j`的背包可以获得的最大价值。当考虑第`i`个物品时有两种情况：

-1)`个物品中选择的结果；
- 若选择当前物品，则需加上此物品的价值并减去其占用的空间再看剩余空间能容纳多少价值。

因此状态转移方程如下所示：

if(j >= w[i]) dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i]);
else          dp[i][j] = dp[i-1][j];

其中，`w[]`代表各物品重量数组；`v[]`代表对应的价值数组。

#### 初始化与边界条件处理

初始化时设置所有可能的状态初始值均为零(`dp[0][..]=0`)，即没有任何物品可供挑选的情况下的最高价值自然也为零。另外还需注意的是，在遍历过程中要确保不会访问越界的索引位置。

#### 实现代码片段

下面给出一段基于上述理论框架编写的简单C++程序用于求解标准形式的一维0/1背包问题：

#include<iostream>
using namespace std;

const int MAX_N = 1e3+5;
int n, V; // 物品数量 和 背包容积
int weight[MAX_N], value[MAX_N]; // 各物品质量和价格
int f[MAX_N];

void solve(){
    memset(f, 0, sizeof(f));
    
    for(int i=1;i<=n;++i){
        for(int j=V;j>=weight[i];--j){
            f[j] = max(f[j],f[j-weight[i]]+value[i]);
        }
    }

}

int main(){
    cin >> n >> V;
    for(int i=1;i<=n;++i)cin>>weight[i]>>value[i];
    solve();
    printf("%d\n",f[V]);

}

pta0/1背包问题回溯法

pta0/1背包问题是指给定n个重量为w1，w2，w3，…，wn，价值为v1，v2，v3，…，vn的物品和容量为C的背包，求这个物品中一个最有价值的子集，使得在满足背包的容量的前提下，包内的总价值最大。而回溯法是一种通过不断地尝试来找到问题解决方案的算法。在pta0/1背包问题中，回溯法可以通过构建一棵满二叉树来实现。每个节点表示一个物品，向左表示将物品装入包中，向右表示不装入包中。通过不断地递归和回溯，可以找到最优解。具体实现可以参考引用中的代码和分析。