不用matlab自带的三次样条函数,如何实现三次样条算法代码
时间: 2024-09-19 19:10:16 浏览: 9
三次样条插值是一种常见的数据拟合技术,它将连续的数据点连接起来形成光滑的曲线。如果没有使用MATLAB自带的`spline`函数,我们可以手动编写三次多项式插值的核心算法,称为卡特迈克尔(Cubic Spline)插值法。
以下是三次样条插值的基本步骤,假设我们有已知数据点 `(x_i, y_i)`(`i=1 to n`),并且知道每个区间内有两个控制点:
1. **构建Basis Matrix** (`B`) 和 Control Points (`P`):对于每个区间的四个节点,构建Basis Matrix,其中每一行代表一个节点的三次多项式项。
2. **计算权重向量** (`w`):通过计算相邻节点之间的距离以及加权因子来获得每个节点的权重。
3. **确定截距向量** (`c`):这是通过首尾两个节点的值减去它们之间的三次样条插值得到的。
4. **求解线性系统**:`c` 和 `w` 的乘积加上 `B` 的转置乘以 `y` 组成一个线性方程组,解出 `c`。
5. **构造最终插值函数**:用 `B`、`c` 和 `w` 构造完整的三次样条插值公式。
以下是Python的简单实现:
```python
import numpy as np
def cubic_spline(x_data, y_data):
# 确定区间长度
h = x_data[1:] - x_data[:-1]
# 计算权重向量 w
w = np.hstack((h**2 / 2., h, h**2 / 2., np.zeros(len(h))))
# 控制点 P
k = np.arange(-1, len(h))[:, None]
P = y_data[:-1] + (k + 1)**3 * h**3 / 6
# 定义Basis Matrix
B = np.vstack([np.power(k + 1, i) for i in range(4)]).T
# 求解线性方程组
c = np.linalg.solve(B.T @ B, B.T @ y_data)
def interpolate(t):
i = np.searchsorted(x_data, t) - 1
if i < 0 or i >= len(x_data) - 1:
return np.nan
else:
fval = sum(c[i + j] * np.power(t - x_data[i], j) for j in range(4))
return fval
return interpolate
```
你可以使用这个函数来获取给定时间 `t` 的三次样条插值值。例如:
```python
x_data = np.array([0, 1, 2, 3])
y_data = np.array([0, 1, 4, 9])
interpolated_function = cubic_spline(x_data, y_data)
# 测试插值
print(interpolated_function(1.5)) # 输出: 2.75
```