给定一个线性系统的状态空间表示，如何确定其可控性和可观测性？请结合João P. Hespanha教授的《线性系统理论》教材，通过实例进行详细解析。

要分析一个线性系统的可控性和可观测性，首先需要有该系统的状态空间表示，通常由状态方程和输出方程构成。状态空间表示法通常写作：x'(t) = Ax(t) + Bu(t)，y(t) = Cx(t) + Du(t)，其中x是状态向量，u是输入向量，y是输出向量，A是系统矩阵，B是输入矩阵，C是输出矩阵，D是直接传递矩阵。

参考资源链接：[线性系统理论：João P. Hespanha 教授的教材](https://wenku.csdn.net/doc/5grhiz83d9?spm=1055.2569.3001.10343)

可控性关注系统能否通过控制输入u(t)来转移到任何可能的状态x(t)。一个系统是可控的，如果对于任何初始状态x(0)，都存在一个有限时间区间内的控制输入序列u(t)，使得系统从x(0)转移到任何期望状态x(f)。这可以通过可控性矩阵C来确定，C定义为C = [B, AB, A^2B, ..., A^(n-1)B]，其中n是系统状态的维数。如果C的秩等于n，则系统是完全可控的。

可观测性关注系统是否能够从输出y(t)中确定系统在任何时间点的状态。如果对于系统中的任何状态，都存在一个有限时间区间内的输出序列y(t)，使得系统状态可以被唯一确定，则系统是完全可观测的。可观测性矩阵O定义为O = [C, CA, CA^2, ..., CA^(n-1)]。如果O的秩等于n，则系统是完全可观测的。

在《线性系统理论》一书中，João P. Hespanha教授通过具体的例子和步骤，详细讲述了如何建立状态空间模型，并进一步分析系统的可控性和可观测性。例如，通过一个简单的机械系统或电路系统的状态空间模型，教授解释了如何计算可控性矩阵和可观测性矩阵，并演示了如何检验它们的秩来确定系统的可控性和可观测性。这些步骤不仅适用于理论分析，也便于在实际工程中应用。

通过这种分析，我们可以选择适合的控制策略来改善系统性能，并且可以设计出合适的观测器来估计系统状态，这对于线性系统的设计和优化至关重要。如果你希望深入掌握这些概念，并应用到实际系统中，João P. Hespanha的《线性系统理论》将是一个非常有用的资源。

参考资源链接：[线性系统理论：João P. Hespanha 教授的教材](https://wenku.csdn.net/doc/5grhiz83d9?spm=1055.2569.3001.10343)