(matlab)移动曲面拟合详细实现

移动曲面拟合是一种基于局部加权回归的曲面拟合方法，其核心思想是利用距离权重来对不同位置的点进行加权，从而得到更精确的拟合结果。下面是详细的实现步骤：

1. 准备数据

首先需要准备要进行拟合的数据，包括坐标、高度或者其他属性等。假设我们有一个 $n\times 3$ 的矩阵 $P$，其中每一行是一个点的坐标 $(x_i,y_i,z_i)$。

2. 设置参数

在进行拟合之前，需要设置一些参数，包括局部加权回归的窗口大小、距离权重函数的类型、拟合的多项式阶数等。这些参数的设置会影响最终的拟合结果，需要根据具体的数据情况进行调整。

3. 计算距离权重

对于每个待拟合的点 $P_i$，需要计算它与其他点之间的距离，并根据距离权重函数计算出对应的权重。常用的距离权重函数包括高斯函数、反比例函数等，其中高斯函数的形式为：

$$w_i=\exp(-\frac{(d_i/d_0)^2}{2})$$

其中 $d_i$ 表示待拟合点 $P_i$ 与点 $P_j$ 之间的距离，$d_0$ 是局部加权回归的窗口大小。

4. 进行局部加权回归

对于每个待拟合的点 $P_i$，需要根据距离权重来进行局部加权回归，求出拟合曲面在该点处的高度 $f_i$。一种常用的方法是使用多项式拟合，假设拟合的多项式阶数为 $m$，则可以使用最小二乘法求解：

$$\min\sum_{j=1}^{n}w_i(x_i-x)^k(y_i-y)^l(z_i-f(x_i,y_i))^2$$

其中 $k,l$ 分别表示多项式的阶数，$w_i$ 是距离权重，$f(x_i,y_i)$ 表示拟合曲面在点 $(x_i,y_i)$ 处的高度，$f_i=f(x_i,y_i)$。

5. 输出拟合结果

对于所有待拟合点，通过上述步骤可以求得它们在拟合曲面上的高度，从而得到完整的拟合曲面。可以将拟合曲面输出为一个网格模型或者等高线图等形式，以便于后续的分析和可视化。

下面是一个简单的 matlab 代码实现：

function [fit_surf] = moving_surface_fit(P, window_size, weight_func, poly_order)
% P: n x 3 矩阵，每一行是一个点的坐标 (x_i, y_i, z_i)
% window_size: 局部加权回归的窗口大小
% weight_func: 距离权重函数，支持 gauss 和 inverse 两种类型
% poly_order: 拟合的多项式阶数

n = size(P, 1);
fit_surf = zeros(n, 1);

for i = 1:n
    % 计算与点 Pi 距离在窗口内的点的距离和权重
    dist = sqrt(sum((P - repmat(P(i,:), n, 1)).^2, 2));
    idx = dist < window_size;
    w = zeros(n, 1);
    if strcmp(weight_func, 'gauss')
        w(idx) = exp(-(dist(idx)/window_size).^2/2);
    elseif strcmp(weight_func, 'inverse')
        w(idx) = 1./dist(idx);
    end
    
    % 多项式拟合
    X = [ones(sum(idx), 1), P(idx,1), P(idx,2)];
    for k = 2:poly_order
        for l = 0:k
            X = [X, P(idx,1).^l .* P(idx,2).^(k-l)];
        end
    end
    Y = P(idx,3);
    coef = (X' * diag(w) * X) \ (X' * diag(w) * Y);
    
    % 计算拟合曲面在点 Pi 处的高度
    fit_surf(i) = [1, P(i,1), P(i,2), P(i,1).^2, P(i,1)*P(i,2), P(i,2).^2, ...
        P(i,1).^3, P(i,1).^2*P(i,2), P(i,1)*P(i,2).^2, P(i,2).^3] * coef;
end
end