如何应用凯莱-哈密尔顿定理计算线性时不变系统的矩阵指数？请结合实际的线性系统状态方程给出示例。

凯莱-哈密尔顿定理是解决线性时不变（LTI）系统状态方程的重要工具，它表明每个n阶方阵A都满足其自身的特征多项式。利用此定理计算矩阵指数\( e^{At} \)的过程可以简化为计算多项式的形式，从而避免了复杂的矩阵幂运算。以下是一个应用该定理的详细步骤和示例：

参考资源链接：[使用凯莱-哈密尔顿定理计算矩阵指数](https://wenku.csdn.net/doc/42ibq8wyih?spm=1055.2569.3001.10343)

1. 确定系统矩阵A的特征多项式∆(s)，通常通过计算\( |sI - A| \)得到。
2. 将s替换为矩阵A得到\( ∆(A) \)，根据凯莱-哈密尔顿定理，\( ∆(A) \)的结果是零矩阵。
3. 将矩阵指数\( e^{At} \)按照泰勒级数展开，并应用凯莱-哈密尔顿定理，简化为一个关于矩阵A的多项式加上余项。
4. 在实际计算中，通常使用特征向量和对角化来进一步简化计算，如果系统的状态矩阵A可以对角化，那么矩阵指数的计算将大大简化。

以一个二阶线性系统为例，其状态方程可以表示为：
\[ \frac{d}{dt}X(t) = AX(t) \]
其中，A为系统矩阵，X(t)为状态向量。

假设给定矩阵A为：
\[ A = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \]
计算其特征多项式∆(s)，我们得到：
\[ ∆(s) = |sI - A| = s^2 + 2s + 1 \]

因为系统矩阵A是二阶的，我们可以直接写出其矩阵指数\( e^{At} \)的表达式：
\[ e^{At} = e^{-t} \begin{bmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \]

在这个例子中，\( e^{At} \)由特征值\( e^{-t} \)和一个与时间t相关的对角线矩阵组成。这个结果展示了系统的无阻尼响应，即在没有外部输入的情况下，系统随时间的自由衰减。

对于更复杂的系统，计算\( e^{At} \)可能需要更高级的数学工具和技术，而《使用凯莱-哈密尔顿定理计算矩阵指数》为读者提供了深入学习矩阵指数计算的宝贵资源。该资料详细介绍了如何将凯莱-哈密尔顿定理应用于计算线性时不变系统的矩阵指数，并通过多个例子进一步阐明了理论的应用。对于那些希望在控制系统分析和设计中掌握这一关键技术的读者，这份资料是不可或缺的学习资源。

参考资源链接：[使用凯莱-哈密尔顿定理计算矩阵指数](https://wenku.csdn.net/doc/42ibq8wyih?spm=1055.2569.3001.10343)