如何利用凯莱哈密顿定理求解特征表达式的系数给出代码

凯莱-哈密顿定理（Cayley-Hamilton Theorem），也称哈密顿恒等式，是一个关于矩阵的代数性质，它表明每个方阵A满足其特征多项式。这个特性可以用特征值来确定特征多项式。给定一个n×n的矩阵A和其特征值λi，特征多项式P(A)可以表示为：

\[ P(A) = \sum_{i=0}^{n-1} c_i A^i \]

其中c_i是特征多项式的系数，对于二次特征多项式，我们通常只需要计算c_0（常数项，等于矩阵的迹tr(A))和c_1（系数，等于-n倍的矩阵的迹tr(-A)）。

下面是一个简单的Python示例，如何使用这个原理找到一个2x2矩阵的特征多项式系数：

import numpy as np

# 定义矩阵A
def get_matrix_coefficients(matrix):
    # 计算矩阵的迹
    trace = matrix.trace()
    
    # 取负号并计算逆矩阵迹（因为c_1 = -n * trace(A^-1)，n=2）
    inv_matrix = np.linalg.inv(matrix)
    c1 = -2 * inv_matrix.trace()

    # 对于二阶特征多项式，c_0 就是矩阵的迹
    c0 = trace
    
    return c0, c1

# 示例矩阵
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
c0, c1 = get_matrix_coefficients(A)

print(f"特征多项式的系数为：c0={c0}, c1={c1}")