巴特沃思低通滤波器的幅度平方函数公式

巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数公式为：

$$|H(j\omega)|^2=\frac{1}{1+\epsilon^2R_n^2\left(\frac{j\omega}{\omega_c}\right)}$$

其中，$\epsilon$为通带最大波纹系数，$R_n(p)$为归一化滤波器的极点函数，$\omega_c$为截止频率，$\omega$为角频率。

通常情况下，巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数会以dB为单位进行表示，即：

$$|H(j\omega)|_{dB}=20\log_{10}|H(j\omega)|=10\log_{10}\frac{1}{1+\epsilon^2R_n^2\left(\frac{j\omega}{\omega_c}\right)}$$

通过计算幅度平方函数，可以确定巴特沃斯低通滤波器的通带最大衰减和阻带最小衰减，从而对滤波器的性能进行评估。在通带内，幅度平方函数的值大致为1，表示该频率信号不受滤波器影响；而在截止频率附近，幅度平方函数的值开始下降，表示该频率信号开始受到滤波器的影响，被滤波器削弱；在阻带内，幅度平方函数的值下降得更快，表示该频率信号被滤波器削弱得更彻底。

相关问题

巴特沃斯低通滤波器的归一化传递函数

### 巴特沃斯低通滤波器的归一化传递函数

巴特沃斯低通滤波器是一种具有平坦幅频响应特性的经典滤波器，在数字信号处理领域广泛应用。对于该类滤波器而言，其归一化传递函数定义为：

\[ H(s) = \frac{1}{\prod_{k=1}^{N}\left( s - p_k \right)} \]

其中 \(p_k\) 表示第 k 个极点位置，而 N 则代表滤波器阶数[^1]。

#### 极点分布特性

为了满足单调下降的要求，即在整个通带内无波动，这些极点均匀分布在左半平面的一个圆上，使得相角间隔相同。具体来说，当考虑 n 阶巴特沃斯低通滤波器时，每一个极点可以表示为：

\[ p_k = e^{j(\pi/2+(k-1)\cdot\pi/N)}, \quad k = 1,2,\ldots,N \]

这表明随着阶数增加，更多的零点被加入到单位圆内部，从而使频率响应更加陡峭地衰减至阻带区域[^2]。

#### 归一化过程

在实际应用中，通常先计算出理想情况下的归一化形式，再通过特定方法将其转换为目标规格的实际电路参数。对于巴特沃斯低通滤波器，归一化意味着设定截止频率 ωc = 1 rad/s 的条件下获得标准化后的传递函数；之后可以通过简单的替换操作来调整真实工作条件下的截止频率ω0 和增益 Amax 等因素[^3]。

% MATLAB 示例代码用于展示如何创建一个三阶巴特沃斯低通滤波器并绘制其Bode图
[b,a]=butter(3,0.4,'low'); % 创建一个三阶巴特沃斯低通滤波器，Wn=0.4*pi rad/sample
figure;
freqz(b,a);                % 绘制幅度和相位响应曲线
title('Three-order Butterworth Lowpass Filter');

递归巴特沃斯低通滤波器和巴特沃斯低通滤波器区别

递归巴特沃斯低通滤波器和巴特沃斯低通滤波器都是常用的数字滤波器，它们的主要区别在于实现方式不同。

巴特沃斯低通滤波器是一种基于多项式的有限脉冲响应（FIR）滤波器，它的特点是具有平坦的幅频响应和较小的群延迟。该滤波器的设计方法是在保持幅频响应的平坦性的前提下，尽可能地压缩群延迟，从而得到一个高品质的数字滤波器。

而递归巴特沃斯低通滤波器则是一种基于差分方程的滤波器，它的特点是具有更为复杂的幅频响应和更大的群延迟。该滤波器的设计方法是根据差分方程的递推关系，得到一个递归结构的数字滤波器。

因此，递归巴特沃斯低通滤波器和巴特沃斯低通滤波器在实现方式、幅频响应和群延迟等方面都存在一定的差异。在具体应用中，需要根据实际需要和性能要求选择合适的滤波器。