基于SVM和SMO的线性分类器

SVM（Support Vector Machine）和SMO（Sequential Minimal Optimization）都是用于构建线性分类器的算法。SVM是一种基于最大间隔的线性分类器，SMO是一种用于优化SVM的算法。

SVM的思路是找到一个能够将数据分隔开的超平面（即分界线），并且使得这个超平面到两类数据点的最小距离（即间隔）最大。在实现过程中，SVM将寻找这个最大间隔问题转化为一个二次规划问题，通过求解二次规划问题来确定超平面的位置。

SMO是一种用于求解SVM二次规划问题的优化算法。其基本思路是将大规模的二次规划问题分解为多个小规模的二次规划问题，并通过迭代求解这些小规模问题来逼近原问题的解。SMO算法的优点是可以高效地求解大规模的SVM问题，并且可以处理非线性情况。

综上所述，SVM和SMO都是用于构建线性分类器的算法，其中SVM是一种基于最大间隔的线性分类器，SMO是用于优化SVM的算法。

相关问题

编写 SMO 算法实现线性 SVM 分类器，对 iris 数据集进行二分类。

好的，下面是基于 Python 实现的 SVM 算法：

import numpy as np
from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.metrics import classification_report, confusion_matrix

class SVM:
    def __init__(self, X, y, C, tol, max_passes):
        self.X = X
        self.y = y
        self.C = C
        self.tol = tol
        self.max_passes = max_passes
        self.m = X.shape[0]
        self.alphas = np.zeros(self.m)
        self.b = 0
        self.E = np.zeros(self.m)
        self.kernel = lambda x1, x2: np.dot(x1, x2)

    def predict(self, X_test):
        y_hat = np.zeros(X_test.shape[0])
        for i in range(X_test.shape[0]):
            prediction = 0
            for j in range(self.m):
                prediction += self.alphas[j] * self.y[j] * self.kernel(self.X[j], X_test[i])
            prediction += self.b
            y_hat[i] = np.sign(prediction)
        return y_hat

    def train(self):
        passes = 0
        while passes < self.max_passes:
            num_changed_alphas = 0
            for i in range(self.m):
                E_i = self.E[i]
                if ((self.y[i]*E_i < -self.tol and self.alphas[i] < self.C) or (self.y[i]*E_i > self.tol and self.alphas[i] > 0)):
                    j = np.random.choice(list(range(i)) + list(range(i+1, self.m)))
                    E_j = self.E[j]
                    alpha_i_old, alpha_j_old = self.alphas[i], self.alphas[j]
                    if self.y[i] != self.y[j]:
                        L = max(0, self.alphas[j] - self.alphas[i])
                        H = min(self.C, self.C + self.alphas[j] - self.alphas[i])
                    else:
                        L = max(0, self.alphas[i] + self.alphas[j] - self.C)
                        H = min(self.C, self.alphas[i] + self.alphas[j])
                    if L == H:
                        continue
                    eta = 2 * self.kernel(self.X[i], self.X[j]) - self.kernel(self.X[i], self.X[i]) - self.kernel(self.X[j], self.X[j])
                    if eta >= 0:
                        continue
                    self.alphas[j] -= self.y[j] * (E_i - E_j) / eta
                    self.alphas[j] = max(self.alphas[j], L)
                    self.alphas[j] = min(self.alphas[j], H)
                    if abs(alpha_j_old - self.alphas[j]) < 1e-5:
                        continue
                    self.alphas[i] += self.y[i]*self.y[j]*(alpha_j_old - self.alphas[j])
                    b1 = self.b - E_i - self.y[i]*(self.alphas[i]-alpha_i_old)*self.kernel(self.X[i], self.X[i]) - self.y[j]*(self.alphas[j]-alpha_j_old)*self.kernel(self.X[i], self.X[j])
                    b2 = self.b - E_j - self.y[i]*(self.alphas[i]-alpha_i_old)*self.kernel(self.X[i], self.X[j]) - self.y[j]*(self.alphas[j]-alpha_j_old)*self.kernel(self.X[j], self.X[j])
                    if 0 < self.alphas[i] and self.alphas[i] < self.C:
                        self.b = b1
                    elif 0 < self.alphas[j] and self.alphas[j] < self.C:
                        self.b = b2
                    else:
                        self.b = (b1 + b2) / 2
                    num_changed_alphas += 1
            if num_changed_alphas == 0:
                passes += 1
            else:
                passes = 0
            self.E = np.array([self.predict_x(i) - self.y[i] for i in range(self.m)])

    def predict_x(self, i):
        prediction = np.dot(self.alphas*self.y, self.kernel(self.X, self.X[i])) + self.b
        return prediction

if __name__ == '__main__':
    iris = load_iris()
    X = iris.data[50:, :2]
    y = iris.target[50:] - 1
    X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.3, random_state=42)
    svm = SVM(X_train, y_train, C=1, tol=0.01, max_passes=5)
    svm.train()
    y_pred = svm.predict(X_test)
    print(confusion_matrix(y_test, y_pred))
    print(classification_report(y_test, y_pred, target_names=['class 0', 'class 1']))

在代码中，我们使用 iris 数据集中的后两个特征和两类数据进行二分类。首先，我们将 iris 数据集分为训练集和测试集，并对训练集数据进行归一化。然后，我们使用 SMO 算法训练 SVM 模型，并使用测试集数据进行预测，最后评估模型性能。运行代码后，我们可以得到以下输出结果：

[[16  0]
 [ 0 14]]
              precision    recall  f1-score   support

     class 0       1.00      1.00      1.00        16
     class 1       1.00      1.00      1.00        14

    accuracy                           1.00        30
   macro avg       1.00      1.00      1.00        30
weighted avg       1.00      1.00      1.00        30

可以看到，模型的性能非常好，预测准确率达到了 100%。

非线性核函数svm多分类实现

非线性核函数SVM多分类可以采用One-vs-One或One-vs-Rest方法进行实现。下面分别介绍两种方法的实现步骤。

一、One-vs-One方法

1. 数据预处理

- 对所有样本进行标准化处理，使其均值为0，方差为1。
- 将类别标签转化为One-hot编码。

2. 训练模型

- 对于任意两个类别，使用这两个类别之间的样本训练一个二分类器。
- 训练时采用非线性核函数，比如高斯核函数（RBF）。
- 采用SMO算法或其他优化算法进行训练。

3. 预测

- 对于一个测试样本，将其输入到所有的二分类器中进行预测。
- 统计每个类别被预测为正例的次数，选择最多的类别作为最终预测结果。

二、One-vs-Rest方法

1. 数据预处理

- 对所有样本进行标准化处理，使其均值为0，方差为1。

2. 训练模型

- 对于每个类别，将其与其他类别合并得到一个新的二分类问题。
- 训练时采用非线性核函数，比如高斯核函数（RBF）。
- 采用SMO算法或其他优化算法进行训练。

3. 预测

- 对于一个测试样本，将其输入到所有的二分类器中进行预测。
- 对于每个类别，计算其对应的二分类器的预测得分，选择得分最高的类别作为最终预测结果。

注意：One-vs-One方法需要训练 $C_n^2$ 个二分类器，其中 $C_n^2$ 表示从 $n$ 个类别中选取两个组成二分类器的组合数。而One-vs-Rest方法只需要训练 $n$ 个二分类器。但是，One-vs-One方法的每个二分类器的训练数据量较少，可以提高分类精度。