SVM软间隔：最大化容忍度的非线性分类器

SVM (Support Vector Machine) 是一种强大的机器学习模型，特别适用于分类和回归分析，尤其是在处理高维数据和非线性模式时。然而，传统的SVM假设数据是完美线性可分的，但在实际应用中，由于噪声和标记错误，这一假设并不总是成立。为了克服这一限制，SVM引入了软间隔或称为软间隔最大化。 软间隔概念的核心在于，即使在存在标记错误和噪声数据的情况下，SVM也能找到一个超平面，该超平面尽可能地清晰区分正负样本，同时允许少数样本点落入所谓的“软边界”。为了实现这一点，SVM引入了一个松弛变量（ξ）和一个惩罚参数C。C的大小决定了对误分类样本的容忍程度：C越大，对错误的容忍度越小，模型会更倾向于找到严格的决策边界；C越小，模型则更灵活，允许更多的样本点位于边界附近。 软间隔的引入改变了原始的线性不可分问题的数学表述。原本基于函数间隔至少为1的约束条件被修改为加上松弛变量ξ，使得新的约束条件变为 (w·x_i + b) + ξ_i ≥ 1 - ε_i，其中ε_i是样本点i的误差容忍度。在目标函数中，错误项用ξ_i的平方和表示，并由系数C控制其权重。通过这种方式，模型变成一个凸二次规划问题，便于求解。 解决这个问题涉及到求解拉格朗日函数的极大极小问题，分为三个步骤：首先，分别对w、b和ξ求最小值；接着，求解对偶问题中的α；最后，利用SMO (Sequential Minimal Optimization) 算法来找到最优解α*。对偶问题的形式简化了优化过程，将原来针对w和b的优化转化为对α的优化，进一步转化为求解一组双曲抛物线约束下的极小值问题。 通过求解这个对偶问题，我们不仅能得到最优的α值，还能反推出原始问题的最优解w*和b*，从而构建出适应软间隔的SVM模型。这种方法极大地提高了SVM的稳健性和泛化能力，使之能够在现实世界的数据集中有效地工作，即使面对复杂的非线性关系和噪声干扰。