SVM分类器详解：最大间隔与SMO算法

"基于SMO的SVM分类器" 支持向量机（SVM）是一种强大的监督学习算法，主要用于二分类问题，但也可扩展到多分类任务。SVM的基本思想是构建一个能最大化类别间边界的模型，这个边界被称为超平面。在二维空间中，超平面是一条直线；在更高维度中，它是一个分隔不同类别的超平面。 2.1 函数间隔与几何间隔 在SVM中，间隔有两种类型：函数间隔（functional margin）和几何间隔（geometric margin）。函数间隔是指数据点到超平面的线性距离，考虑了分类器的权重向量w和常数项b。对于一个点x，其函数间隔γ_f为： γ_f = y * (wTx + b) 其中y是该点的类别（+1或-1）。然而，由于我们关心的是实际的物理距离，不受w的影响，所以我们引入几何间隔γ_g，它是经过归一化后的函数间隔，考虑了w的模长： γ_g = γ_f / ||w|| 几何间隔是SVM优化的目标，因为它给出了数据点与超平面的实际距离。 2.2 最大间隔分类器MaximumMarginClassifier SVM的核心目标是找到具有最大几何间隔的超平面。这样的超平面可以更好地泛化未知数据，因为对噪声和新样本的容忍度更高。通过最大化几何间隔，SVM试图找到一个决策边界，即使在数据点有些许扰动的情况下，也能保持稳定。 2.3 SMO算法 在实际应用中，SVM的优化问题通常转换为求解一个凸二次规划问题。原问题涉及求解一个拉格朗日乘子对应的对偶问题。SMO（Sequential Minimal Optimization）算法是由John Platt提出的，用于高效求解SVM的对偶问题。SMO算法通过迭代选择一对拉格朗日乘子，然后优化这对乘子，同时保持其他乘子的值不变，直到所有乘子满足KKT条件，即达到局部最优解。 2.4 支持向量 在SVM中，关键的概念是支持向量，即那些离超平面最近的数据点。这些点决定了超平面的位置和形状，因为它们对间隔的影响最大。优化过程中，SVM只关心支持向量，而忽略其他离超平面较远的点，这使得SVM在高维空间中依然有效。 总结，SVM通过构建最大间隔的超平面来进行分类，利用SMO算法高效求解对偶问题，从而找到最优的支持向量和超平面。这种算法在处理小样本和非线性问题时表现出色，且具有良好的泛化能力。在Python中，可以使用Scikit-Learn库来实现SVM分类器，其中包括SMO算法的实现。