SVM分类器详解:最大间隔与SMO算法
"基于SMO的SVM分类器" 支持向量机(SVM)是一种强大的监督学习算法,主要用于二分类问题,但也可扩展到多分类任务。SVM的基本思想是构建一个能最大化类别间边界的模型,这个边界被称为超平面。在二维空间中,超平面是一条直线;在更高维度中,它是一个分隔不同类别的超平面。 2.1 函数间隔与几何间隔 在SVM中,间隔有两种类型:函数间隔(functional margin)和几何间隔(geometric margin)。函数间隔是指数据点到超平面的线性距离,考虑了分类器的权重向量w和常数项b。对于一个点x,其函数间隔γ_f为: γ_f = y * (wTx + b) 其中y是该点的类别(+1或-1)。然而,由于我们关心的是实际的物理距离,不受w的影响,所以我们引入几何间隔γ_g,它是经过归一化后的函数间隔,考虑了w的模长: γ_g = γ_f / ||w|| 几何间隔是SVM优化的目标,因为它给出了数据点与超平面的实际距离。 2.2 最大间隔分类器MaximumMarginClassifier SVM的核心目标是找到具有最大几何间隔的超平面。这样的超平面可以更好地泛化未知数据,因为对噪声和新样本的容忍度更高。通过最大化几何间隔,SVM试图找到一个决策边界,即使在数据点有些许扰动的情况下,也能保持稳定。 2.3 SMO算法 在实际应用中,SVM的优化问题通常转换为求解一个凸二次规划问题。原问题涉及求解一个拉格朗日乘子对应的对偶问题。SMO(Sequential Minimal Optimization)算法是由John Platt提出的,用于高效求解SVM的对偶问题。SMO算法通过迭代选择一对拉格朗日乘子,然后优化这对乘子,同时保持其他乘子的值不变,直到所有乘子满足KKT条件,即达到局部最优解。 2.4 支持向量 在SVM中,关键的概念是支持向量,即那些离超平面最近的数据点。这些点决定了超平面的位置和形状,因为它们对间隔的影响最大。优化过程中,SVM只关心支持向量,而忽略其他离超平面较远的点,这使得SVM在高维空间中依然有效。 总结,SVM通过构建最大间隔的超平面来进行分类,利用SMO算法高效求解对偶问题,从而找到最优的支持向量和超平面。这种算法在处理小样本和非线性问题时表现出色,且具有良好的泛化能力。在Python中,可以使用Scikit-Learn库来实现SVM分类器,其中包括SMO算法的实现。
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