若行列式等于0,能确定矩阵的特征值一定包含0吗
时间: 2024-03-04 21:49:20 浏览: 45
可以确定。如果一个n阶方阵A的行列式det(A)等于0,那么A一定存在一个特征值为0。
我们可以通过矩阵的性质来证明这个结论。对于一个n阶方阵A,如果它的行列式det(A)等于0,那么根据行列式的定义,A不是满秩的,即A的秩rank(A)小于n。因此,A的列向量中至少存在一个线性组合为零的向量,即存在一个非零的n维向量x,使得Ax=0。
我们设A的特征值为λ,特征向量为v,则有Av=λv。如果λ不等于0,则v不等于0,因此可以将v归一化,即令||v||=1。因为Av=λv,所以有A(v/||v||)=λ(v/||v||),即A(u)=λu,其中u=v/||v||是v的单位向量。因此,u是A的一个特征向量,其对应的特征值为λ。
现在我们来证明λ等于0。因为Ax=0,所以x是A的一个特征向量,其对应的特征值为λ。因为x不等于0,所以x中至少存在一个非零元素。我们设x中第i个元素为x_i,并将A的第i列向量表示为a_i,则有:
```
Ax = 0
<=> A(x_1*a_1 + x_2*a_2 + ... + x_i*a_i + ... + x_n*a_n) = 0
<=> x_1*A(a_1) + x_2*A(a_2) + ... + x_i*A(a_i) + ... + x_n*A(a_n) = 0
```
因为x_i不等于0,所以可以将上式两边同时除以x_i,得到:
```
A(a_i) = -x_1/x_i*A(a_1) - x_2/x_i*A(a_2) - ... - x_{i-1}/x_i*A(a_{i-1}) - x_{i+1}/x_i*A(a_{i+1}) - ... - x_n/x_i*A(a_n)
```
上式说明A的第i列向量a_i是A的其它列向量的线性组合。因为A的秩rank(A)小于n,所以A的列向量中存在一个线性组合为零的向量,即存在非零的x使得Ax=0。因此,根据上式可知,对于任意的i,A的第i列向量a_i也是A的其它列向量的线性组合。因此,A的列向量不是线性独立的,即A的秩rank(A)等于它的列秩,小于n。
因为A的秩rank(A)小于n,所以A的零空间(null space)的维数大于0。零空间就是Ax=0的所有解构成的向量空间,其维数等于n-rank(A)。因为x是A的一个非零解,所以x属于A的零空间,即Ax=0。因此,A的零空间的维数大于等于1,即它至少存在一个非零的零空间向量。因此,A的特征值中至少存在一个为0。
综上所述,如果一个n阶方阵A的行列式det(A)等于0,则A一定存在一个特征值为0。
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