软阈值函数

软阈值函数是小波阈值去噪中常用的一种阈值函数，用于对小波分解后的系数进行阈值处理。软阈值函数的定义如下：

$$soft(x, \lambda) = \begin{cases} x - \lambda, & \text{if } x > \lambda \\ 0, & \text{if } -\lambda \leq x \leq \lambda \\ x + \lambda, & \text{if } x < -\lambda \end{cases}$$

其中，$x$为小波分解后的系数，$\lambda$为阈值。软阈值函数的作用是将小于阈值的系数置为0，将大于阈值的系数减去阈值，将小于负阈值的系数加上阈值，从而对噪声进行抑制。

软阈值函数相对于硬阈值函数的优点是，它能够产生平滑的阈值曲线，从而更好地保留信号的主要特征。此外，软阈值函数能够处理更多的信号类型，包括存在较强相关性的信号。

在Matlab中，可以使用wthresh函数来实现软阈值函数，例如：

% 生成测试数据
x = 0:0.01:1;
y = sin(2*pi*5*x) + randn(size(x));

% 进行小波分解
[c,l] = wavedec(y,5,'db4');

% 计算阈值
thr = wthrmngr('sqtwolog',c);

% 进行软阈值处理
s = wthresh(c,'s',thr);

% 进行小波重构
y_denoised = waverec(s,l,'db4');

% 绘制原始信号和去噪后的信号
plot(x,y);
hold on;
plot(x,y_denoised,'r');
legend('Original Signal','Denoised Signal');

在上述示例中，我们首先生成了一个带有噪声的信号，然后使用小波分解对其进行处理，计算出阈值，使用软阈值函数对分解系数进行处理，最后进行小波重构得到去噪后的信号。