优化后的回溯法求解多机调度问题

多机调度问题是一个经典的NP难问题，回溯法是一种常见的求解方法。在优化后的回溯法中，我们通过一些限制条件来减少搜索空间，从而提高求解效率。

具体来说，我们可以采用以下优化策略：

1. 任务排序：我们可以将任务按照其处理时间从小到大排序，这样可以尽早地完成短任务，从而释放机器资源，加快后续任务的完成。

2. 机器排序：我们可以将机器按照其剩余可用时间从小到大排序，这样可以尽早地安排任务，从而避免机器资源的浪费。

3. 剪枝策略：在回溯过程中，我们可以通过一些限制条件来减少搜索空间，例如，当一个任务的处理时间已经超过了某个机器的剩余可用时间，那么该任务就无法被安排在该机器上，可以直接跳过该状态。

4. 双向搜索：我们可以同时从起点和终点进行搜索，当两个搜索路径相交时，即找到了一个可行解。

综上所述，通过以上优化策略，可以在合理的时间内求解多机调度问题。

相关问题

PTA回溯法求解流水作业调度问题

### 使用回溯法求解流水作业调度问题

#### 流水作业调度问题描述
给定 n 个作业要在两台机器上加工处理，每个作业都必须先由机器 M1 加工，然后再由机器 M2 加工。设第 i 个作业需占用机器 M1 的时间为 ai ， 占用机器 M2 的时间为 bi 。现在要找出这 n 个作业的一个最优排列方案使得总完成时间最短。

#### 回溯法原理
回溯法是一种通过构建解空间树来尝试所有可能解决方案的方法，在每一步选择中做出尽可能好的决策并继续前进；如果发现当前路径无法得到更优的结果，则返回到前一状态重新选择其他可能性直到找到全局最优解[^1]。

#### 算法实现思路
为了应用回溯法于上述问题之中：

- 定义一个函数 `backtrack` 接受参数为当前正在考虑安排哪个工作以及已经计算出来的部分成本。
- 对每一个未被分配的工作位置 k (k=0, ..., n)，假设将其放在当前位置 j 上面，并更新相应的最早可用时间和累积花费。
- 如果所有的任务都被成功放置完毕，则记录下此时的成本作为候选答案之一。
- 当遍历结束之后比较各个保存下来的可行解取其中最小者即为我们所寻求的最佳排序方式。

下面是具体的 Python 实现代码：

import sys

def flow_shop_scheduling(n, a, b):
    best_order = []
    min_cost = float('inf')
    
    def backtrack(j, current_a_time, current_b_time, order, visited):
        nonlocal best_order, min_cost
        
        if j == n:
            cost = max(current_a_time + sum([a[i] for i in range(n)]), 
                       current_b_time + sum([b[i] for i in range(n)]))
            
            if cost < min_cost:
                min_cost = cost
                best_order[:] = order[:]
                
            return
            
        for i in range(n):
            if not visited[i]:
                next_a_time = current_a_time + a[i]
                next_b_time = max(current_b_time, next_a_time) + b[i]

                new_visited = list(visited)
                new_visited[i] = True
                
                backtrack(
                    j + 1,
                    next_a_time,
                    next_b_time,
                    order + [i],
                    new_visited)

    initial_visited = [False]*n
    backtrack(0, 0, 0, [], initial_visited)
    
    return best_order, min_cost


if __name__ == "__main__":
    # Example input data from the problem statement.
    num_jobs = int(input().strip())
    processing_times_m1 = list(map(int, input().split()))
    processing_times_m2 = list(map(int, input().split()))

    optimal_sequence, minimum_completion_time = flow_shop_scheduling(num_jobs, processing_times_m1, processing_times_m2)

    print(f"Optimal sequence of jobs is {optimal_sequence}")
    print(f"The minimal completion time required to process all tasks on both machines sequentially is {minimum_completion_time}.")

此程序读入一组测试数据后会输出最佳的任务序列及其对应的最少完工时刻。注意这里采用的是递归形式的回溯方法来进行搜索过程模拟。

回溯法求解流水作业调度问题算法步骤

回溯法求解流水作业调度问题的算法步骤如下：

1. 确定问题的决策变量和约束条件。流水作业调度问题的决策变量是各作业的顺序，约束条件是每个作业的前置作业必须全部完成。

2. 确定问题的搜索空间。对于n个作业的流水作业调度问题，搜索空间为n!，即所有可能的作业顺序。

3. 利用回溯法进行搜索。从第一个作业开始，搜索所有可能的下一个作业，直到找到一个可行解或者搜索完所有可能的解。如果找到可行解，则更新最优解；如果搜索完所有可能的解，回溯到上一级节点，继续搜索其他可能的解，直到找到最优解。

4. 制定剪枝策略。由于搜索空间的大小为n!，因此需要制定剪枝策略来减少搜索时间。常用的剪枝策略包括：约束传播、可行性剪枝、最优性剪枝等。

5. 最终输出最优解。当搜索结束时，输出找到的最优解。

需要注意的是，回溯法虽然可以求解流水作业调度问题，但是由于搜索空间的大小非常大，因此可能需要很长时间才能找到最优解。因此，在实际应用中，需要结合其他优化算法来提高求解效率。