回归分析原理及例子
"回归分析原理及例子" 回归分析是一种统计相关关系的数理统计方法,旨在寻找变量之间的数学表达形式。该方法的基本思想是,虽然自变量和因变量之间没有严格的、确定性的函数关系,但可以设法找出最能代表它们之间关系的数学表达形式。 回归分析主要解决以下几个方面的问题: 1. 确定几个特定的变量之间是否存在相关关系,如果存在的话,找出它们之间合适的数学表达式。 2. 根据一个或几个变量的值,预测或控制另一个变量的取值,并且可以知道这种预测或控制能达到什么样的精确度。 3. 进行因素分析,例如在对于共同影响一个变量的许多变量(因素)之间,找出哪些是重要因素,哪些是次要因素,这些因素之间又有什么关系等等。 回归分析有很广泛的应用,例如实验数据的一般处理,经验公式的求得,因素分析,产品质量的控制,气象及地震预报,自动控制中数学模型的制定等等。 多元回归分析是研究多个变量之间关系的回归分析方法,按因变量和自变量的数量对应关系可划分为一个因变量对多个自变量的回归分析(简称为“一对多”回归分析)及多个因变量对多个自变量的回归分析(简称为“多对多”回归分析),按回归模型类型可划分为线性回归分析和非线性回归分析。 在“一对多”线性回归分析中,设随机变量 y 与 k 个自变量存在线性关系: y = Xβ + ε 其中,X 是自变量矩阵,β 是回归系数矩阵,ε 是随机误差矩阵。 为了估计回归系数 β,我们可以使用最小二乘法,设 y 的观测值为 yˆ,则有: yˆ = Xβ + ε 其中,ε 是误差的估计值,称为残差或剩余。 欲使估计值与实际值拟合的最好,应使残差平方和达到最小,于是我们可以应用微分求极值原理确定,即解下列方程组: ∂Σe^2/∂β = 0 整理并化简得以下正规方程组: (X^T X)β = X^T y 其中,X^T 是 X 的Transpose矩阵,X^T X 是系数矩阵,X^T y 是右端常数项矩阵。 如果系数矩阵满秩,则存在唯一的解,否则,需要使用其他方法来解决。 在“多对多”回归分析中,我们可以使用同样的方法来估计回归系数,但是需要将自变量矩阵 X 扩展到多个自变量的矩阵形式。 非线性回归分析是指回归方程中包含非线性项的情况,例如多项式回归、指数回归等。这些回归模型的参数估计可以使用非线性最小二乘法或最大似然估计等方法。 回归分析是一种非常有用的统计方法,广泛应用于各个领域,能够帮助我们更好地理解和分析变量之间的关系。