用QR分解法求解最小二乘问题matlab

在 MATLAB 中，可以使用 QR 分解来求解最小二乘问题。具体步骤如下：

1. 假设有一个线性方程组 Ax=b，其中 A 是 m×n 的矩阵，m>n。则最小二乘问题可以表示为 min ||Ax-b||。

2. 对 A 进行 QR 分解，得到 QR=A，其中 Q 是一个 m×m 的正交矩阵，R 是一个 m×n 上三角矩阵。

3. 将最小二乘问题转化为 min ||Rx-Q^Tb||，其中 Q^T 是 Q 的转置。

4. 利用 MATLAB 中的反斜杠符号（\）求解这个新的线性方程组，即 R*x=Q^T*b。这里 x 就是最小二乘解。

下面是一个 MATLAB 代码示例：

% 构造矩阵 A 和向量 b
A = [1 2; 3 4; 5 6];
b = [7; 8; 9];

% 进行 QR 分解
[Q,R] = qr(A);

% 求解最小二乘问题
x = R\(Q'*b);

% 输出结果
disp(x);

在这个示例中，A 是一个 3×2 的矩阵，b 是一个 3×1 的向量。通过 QR 分解得到 Q 和 R，然后利用反斜杠符号求解最小二乘问题。最终输出的 x 就是最小二乘解。

相关问题

用QR分解法求解最小二乘问题min ||Ax-b||2matlab

在 MATLAB 中，可以使用 `qr` 函数来实现 QR 分解，进而求解最小二乘问题。

具体步骤如下：

1. 将原问题转化为增广矩阵形式：$[A \quad b]$
2. 对增广矩阵进行 QR 分解：$[Q, R] = qr([A \quad b])$
3. 将 $Q$ 和 $R$ 分解成子矩阵：

$Q = \begin{bmatrix} Q_1 & Q_2 \end{bmatrix},\quad R = \begin{bmatrix} R_1 \\ 0 \end{bmatrix}$

其中，$Q_1$ 是 $m\times n$ 的正交矩阵，$R_1$ 是 $n\times n$ 的上三角矩阵。

4. 将 $R_1$ 分解成对角矩阵和非对角矩阵：

$R_1 = \begin{bmatrix} R_d \\ 0 \end{bmatrix} + R_e$

其中，$R_d$ 是 $n\times n$ 的对角矩阵，$R_e$ 是 $n\times n$ 的严格上三角矩阵。

5. 则原问题的最小二乘解为：$x = R_d^{-1}Q_1^Tb$

下面给出 MATLAB 代码实现：

function x = lsqr_qr(A, b)
% QR 分解求解最小二乘问题
[m, n] = size(A);
[Q, R] = qr([A, b]);
Q1 = Q(:, 1:n);
R1 = R(1:n, 1:n);
Rd = diag(diag(R1));
Re = R1 - Rd;
x = Rd \ (Q1.' * b);
end

其中，输入参数 `A` 是 $m\times n$ 的矩阵，`b` 是 $m\times 1$ 的向量；输出变量 `x` 是 $n\times 1$ 的最小二乘解。

利用QR分解求解最小二乘问题matlab示例

假设有一个线性方程组 $Ax=b$，其中 $A$ 是 $m\times n$ 的矩阵，$b$ 是 $m\times 1$ 的向量。最小二乘问题就是要找到一个 $n\times 1$ 的向量 $x$，使得 $\left\| Ax-b \right\|$ 最小。

利用 QR 分解可以求解最小二乘问题。具体步骤如下：

1. 对 $A$ 进行 QR 分解，得到 $A=QR$，其中 $Q$ 是 $m\times m$ 的正交矩阵，$R$ 是 $m\times n$ 的上三角矩阵。

2. 将方程组 $Ax=b$ 变形成 $QRx=b$，即 $Rx=Q^Tb$。

3. 由于 $R$ 是上三角矩阵，可以使用回代法求解 $Rx=Q^Tb$。

4. 解得 $x$。

下面是 MATLAB 代码示例：

% 生成随机矩阵A和向量b
m = 5;
n = 3;
A = randn(m, n);
b = randn(m, 1);

% 对A进行QR分解
[Q, R] = qr(A);

% 将方程组Ax=b变成QRx=b
b_hat = Q' * b;

% 回代求解Rx=Q'b
x = zeros(n, 1);
for i = n:-1:1
    x(i) = (b_hat(i) - R(i, i+1:n)*x(i+1:n)) / R(i, i);
end

% 输出结果
disp(x);

这段代码生成一个 $5\times 3$ 的随机矩阵 $A$ 和一个随机向量 $b$，然后对 $A$ 进行 QR 分解，求解最小二乘问题，最后输出解 $x$。