证明x,y趋近于0(1+xy)^(1/x+y)的极限不存在
时间: 2023-12-15 09:04:44 浏览: 35
我们可以使用夹逼定理来证明极限不存在。假设极限存在且为L,即:
lim(x,y→0) (1+xy)^(1/(x+y)) = L
接下来,我们可以找到两个不同的点列,使得它们收敛到(0,0),但是它们的极限却不相等。这样就可以证明极限不存在。
首先,令x=1/n,y=n,其中n为正整数。则有:
(1+xy)^(1/(x+y)) = (1+n/n)^(1/(1/n+n)) = (1+1/n)^(n+1)→e (n→∞)
因此,当y=n趋近于0时,(1+xy)^(1/(x+y))趋近于e。
接下来,令x=n,y=1/n,同样有:
(1+xy)^(1/(x+y)) = (1+n/n)^(1/(n+1/n)) = (1+1/n)^n→e (n→∞)
因此,当x=n趋近于0时,(1+xy)^(1/(x+y))也趋近于e。
由于这两个点列趋近于(0,0),但是它们的极限不相等,因此根据夹逼定理,原极限不存在。
相关问题
x,y趋近于0(1+xy)^(1/x+y)的极限
这是一个典型的极限问题,可以使用自然对数和泰勒公式来求解。具体步骤如下:
首先将原式取对数,得到ln[(1+xy)^(1/(x+y))],然后使用ln(a^b)=b*ln(a)的性质,将指数提取出来,得到(1/(x+y))*ln(1+xy)。
接下来,将ln(1+xy)在x=0处进行泰勒展开,得到ln(1+xy)=xy-x^2*y^2/2+O(x^3),代入原式中,得到极限lim(x,y->0)(1/(x+y))*(xy-x^2*y^2/2+O(x^3))。
化简得到lim(x,y->0)(1/2)*(x^2*y-y^2*x),再使用极坐标系下的极限求解方法,令x=r*cosθ,y=r*sinθ,则原式可以转化为lim(r->0)(r^2*cosθ*sinθ*cosθ-sinθ*cosθ*sinθ),化简得到lim(r->0)(-1/2)*r^2*sin^2(2θ)。
由于sin^2(2θ)的取值范围在[0,1]之间,因此当r趋近于0时,原式的极限为0。
因此,原式的极限为0。
matlab求极限lim x趋近于1 y趋近于2 (x^2+y^2)^xy
好的,让我来帮你解答这个问题。
首先,我们可以将极限表达式写成指数形式,即:
lim(x→1, y→2) (x^2 + y^2)^(xy) = e^lim(x→1, y→2) ln[(x^2 + y^2)^(xy)]
接下来,我们需要求出 ln[(x^2 + y^2)^(xy)] 的极限。我们可以使用自然对数的性质,将指数拆开,得到:
ln[(x^2 + y^2)^(xy)] = xy * ln(x^2 + y^2)
然后,我们再将 ln(x^2 + y^2) 表示成 ln[(x-1)^2 + (y-2)^2 + 5] 的形式,这里使用了平面几何的知识。可以证明,当 (x, y) 趋近于 (1, 2) 时,(x-1)^2 + (y-2)^2 会趋近于 0,因此可以将 ln(x^2 + y^2) 用泰勒公式展开为:
ln(x^2 + y^2) = ln[(x-1)^2 + (y-2)^2 + 5] ≈ ln(5) + [(x-1)^2 + (y-2)^2]/5 + O([(x-1)^2 + (y-2)^2]^2)
注意到当 (x, y) 趋近于 (1, 2) 时,O([(x-1)^2 + (y-2)^2]^2) 的量级比 [(x-1)^2 + (y-2)^2]/5 小得多,因此我们可以忽略它,得到:
ln[(x^2 + y^2)^(xy)] ≈ xy * [ln(5) + (x-1)^2/5 + (y-2)^2/5]
现在我们需要求出 xy * [ln(5) + (x-1)^2/5 + (y-2)^2/5] 的极限。注意到当 (x, y) 趋近于 (1, 2) 时,xy 也趋近于 2,因此我们可以将极限写成:
2 * [ln(5) + (x-1)^2/5 + (y-2)^2/5]
然后,我们可以将 (x-1)^2 和 (y-2)^2 展开,得到:
2 * [ln(5) + (x^2 - 2x + 1)/5 + (y^2 - 4y + 4)/5]
化简一下,得到:
2 * [ln(5) + (x^2 + y^2)/5 - (2x + 4y - 7)/5]
现在我们只需要将 x^2 + y^2 替换成 5 - (x-1)^2 - (y-2)^2,得到:
2 * [ln(5) + (5 - (x-1)^2 - (y-2)^2)/5 - (2x + 4y - 7)/5]
最后,我们可以将 (x-1)^2 和 (y-2)^2 替换成 O(1) 的量,得到:
2 * [ln(5) + 1 - (2x + 4y - 7)/5]
当 (x, y) 趋近于 (1, 2) 时,(2x + 4y - 7)/5 也趋近于 0,因此极限为:
2 * [ln(5) + 1] = 2ln(5) + 2
因此,原极限的值为 e^(2ln(5)+2) = 50e^2。