泰勒4阶展开和移动最小二乘法
时间: 2023-06-28 11:10:18 浏览: 54
泰勒4阶展开是将一个函数在某一点处展开成一系列项的和,其中每一项都是该点处的导数的某一阶乘除以该阶次的幂次。具体来说,对于函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的泰勒4阶展开式为:
$$
f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3 + \frac{f^{(4)}(x_0)}{4!}(x-x_0)^4 + R_4(x)
$$
其中,$R_4(x)$ 是余项,表示展开式与原函数之间的误差。其具体形式为:
$$
R_4(x) = \frac{f^{(5)}(\xi)}{5!}(x-x_0)^5
$$
其中 $\xi$ 是 $x$ 和 $x_0$ 之间的某个值。
而移动最小二乘法是一种线性回归的方法,用于拟合一组数据点的直线方程。它的基本思想是通过最小化数据点到直线的距离来确定直线的参数。具体来说,对于一组包含 $n$ 个数据点 $(x_i, y_i)$ 的数据集,移动最小二乘法的目标是找到一条直线 $y = ax + b$,使得所有数据点到该直线的距离之和最小。因为距离的平方是一个凸函数,所以可以通过求导并令导数为零来求出最小值点,最终得到:
$$
a = \frac{n \sum_{i=1}^n x_i y_i - \sum_{i=1}^n x_i \sum_{i=1}^n y_i}{n \sum_{i=1}^n x_i^2 - (\sum_{i=1}^n x_i)^2}
$$
$$
b = \frac{\sum_{i=1}^n y_i - a \sum_{i=1}^n x_i}{n}
$$
其中,$a$ 和 $b$ 分别是直线的斜率和截距。
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