列出 SVM 的映射函数和目标函数
时间: 2023-09-11 10:08:54 浏览: 53
SVM(支持向量机)的映射函数和目标函数如下:
映射函数:
将原始数据映射到高维空间中,使得数据在高维空间中线性可分。
目标函数:
$$
\min_{w,b,\xi} \frac{1}{2}||w||^2 + C\sum_{i=1}^{m}\xi_i \\
s.t. \ y_i(w^Tx_i+b) \geq 1-\xi_i,\ \xi_i \geq 0,\ i=1,2,...,m
$$
其中,$w$ 为分离超平面的法向量,$b$ 为偏移量,$\xi_i$ 为松弛变量,$C$ 为惩罚参数,$y_i$ 为第 $i$ 个样本的类别标签,$x_i$ 为第 $i$ 个样本的特征向量,$m$ 为样本数量。目标函数的第一项为结构风险,第二项为经验风险,两者的和为总体风险。目标函数的约束条件保证所有样本都被正确分类,$\xi_i$ 的存在则允许一些样本分类错误但是在分离超平面附近。
相关问题
Softmax损失函数和SVM损失函数
Softmax损失函数和SVM损失函数都是常用于多分类问题的损失函数,它们的目标都是最小化分类误差。但是它们的形式和计算方式有所不同:
Softmax损失函数:
$$L=-\frac{1}{N}\sum_i\sum_{j}y_{ij}\log(\frac{e^{f_j}}{\sum_k e^{f_k}})$$
其中$N$是样本数,$y_{ij}$是第$i$个样本的第$j$个标签,$f_j$是输入特征向量$x$在第$j$个类别上的得分。Softmax损失函数的计算方式是将输入的得分向量$f$经过softmax函数进行归一化,然后将归一化后的概率与真实标签进行比较,计算损失值。Softmax损失函数可以看作是对交叉熵损失函数的一种特例。
SVM损失函数:
$$L=\frac{1}{N}\sum_i\sum_{j\neq y_i}\max(0,f_j-f_{y_i}+\Delta)$$
其中$N$是样本数,$y_i$是第$i$个样本的真实标签,$f_j$是输入特征向量$x$在第$j$个类别上的得分,$\Delta$是一个正则化参数。SVM损失函数的计算方式是将输入的得分向量$f$与真实标签的得分进行比较,如果某个类别的得分高于真实标签的得分加上$\Delta$,则损失为0,否则损失为$f_j-f_{y_i}+\Delta$。SVM损失函数可以看作是对最大间隔分类器的一种实现。
两种损失函数都可以用于多分类任务,但是Softmax损失函数更常用于神经网络,SVM损失函数则更常用于线性分类器。
svm损失函数和优化实现
SVM(支持向量机)的损失函数和优化实现是通过最大化边际来实现的。SVM的损失函数是基于Hinge Loss的,它衡量了正确分类和错误分类之间的边际。具体来说,对于每个样本,SVM会计算其真实分类的分数和其他可能分类的分数之间的差距。如果这个差距小于一个预先设定的边际(通常为1),则认为这个样本被正确分类。如果差距大于边际,则认为这个样本被错误分类。
SVM的优化目标是找到一个能够最大化边际的超平面,使得正确分类的样本尽可能远离超平面,而错误分类的样本尽可能接近或超过边际。这可以通过求解一个凸优化问题来实现,其中目标是最小化损失函数和正则化项的和。正则化项用于控制模型的复杂度,以防止过拟合。
在优化过程中,可以使用梯度下降等优化算法来更新模型的参数,使得损失函数逐渐减小。通过迭代更新参数,最终可以得到一个能够最大化边际的超平面,从而实现对样本的分类。
总结起来,SVM的损失函数是基于Hinge Loss的,通过最大化边际来实现对样本的分类。优化过程中使用梯度下降等算法来更新模型参数,使得损失函数逐渐减小,最终得到一个能够最大化边际的超平面。\[1\]\[2\]
#### 引用[.reference_title]
- *1* *2* *3* [Lecture2:损失函数及优化](https://blog.csdn.net/qq_41694024/article/details/128208185)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v91^control_2,239^v3^insert_chatgpt"}} ] [.reference_item]
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