c语言:使用adams显示格式计算y'=y-2x/y

为了使用Adams显示格式计算该方程，我们需要将其转化为一个一阶常微分方程组的形式。设 $z=y$ 和 $w=y'=\frac{dy}{dx}$，则原方程可以表示为：

$$w=z-2x/z$$

对其进行求导，得到：

$$w'=\frac{dw}{dx}=\frac{d}{dx}(z-2x/z)=z'-\frac{2}{z}-2x\frac{d}{dx}\frac{1}{z}$$

根据 $z=y$ 和 $w=y'$，有 $z'=w$，因此可以将上式改写为：

$$w'=w-\frac{2}{z}-2x\frac{dw}{dz}$$

这就是转化后的一阶常微分方程组形式。接下来，我们可以使用Adams显示格式进行数值求解。

Adams显示格式是一种显式的多步法，其递推公式为：

$$y_{n+1}=y_n+\frac{h}{24}(55f_n-59f_{n-1}+37f_{n-2}-9f_{n-3})$$

其中 $y_n$ 是第 $n$ 步的近似解，$f_n$ 是在 $x_n,y_n$ 处的导数近似值，$h$ 是步长。对于本题，我们可以使用四阶Runge-Kutta方法求得前三步的近似解，然后使用Adams显示格式进行迭代求解。

下面是使用C语言实现该算法的代码：

相关问题

MATLAB解决用四阶ADAMS预报矫正系统求解下列微分方程初值问题 dy/dx=-y+x+1；有y（0）=1（0<x<1),画出y随x变化曲线

为了在MATLAB中使用四阶Adams预报矫正法（Implicit Adams method）来求解给定的微分方程 \( \frac{dy}{dx} = -y + x + 1 \)，初始条件 \( y(0) = 1 \)，并绘制y随x的变化曲线，你可以按照以下步骤操作：

1. 定义函数 `f` 来表示微分方程右侧的表达式：

   function dydx = f(x, y)
       dydx = -y + x + 1;
   end

2. 设置初始条件和网格范围：

   initial_y = 1;
   a = 0;
   b = 1;
   h = 0.01; % 步长，可以根据需要调整
   n_steps = round((b-a)/h);

3. 使用Adams-Bashforth-Moulton预报器（ABM4）计算序列：

   y = zeros(n_steps, 1);
   y(1) = initial_y;
   
   for i = 2:n_steps
       k1 = h * f(a, y(i-1));
       k2 = h * f(a+h/2, y(i-1) + k1/2);
       k3 = h * f(a+h/2, y(i-1) + k2/2);
       k4 = h * f(a+h, y(i-1) + k3);
       
       y(i) = y(i-1) + (k1 + 8*k2 + 8*k3 + k4) / 24;
       a = a + h;
   end

4. 绘制结果：

   plot(x, y, '-o');
   xlabel('x');
   ylabel('y');
   title('Solution of the differential equation with initial condition y(0)=1');

完成以上代码后，你会得到y随x的变化曲线。

利用Julia语言作完整程序：分别用Adams二步法、四步法在相同的步长下求解如下方程，并与精确解做比较。dy/dx=-xy,y(0)=1

为了利用Julia语言编写程序来解决这个问题，我们首先需要了解如何使用Adams方法。以下是使用Adams二阶和四阶方法来求解给定微分方程dy/dx = -xy, y(0) = 1的简单示例。我们将用到`OrdinaryDiffEq`库来处理微分方程求解。

using DifferentialEquations, Plots

# 定义微分方程函数 f(x, y)
function dydx!(dydx, x, y)    
    dydx .= -x .* y
end

# 精确解 (这里是一个近似的Euler方法作为参考)
function exact_solution(t, y₀=1.0)
    return exp(-t)
end

# 初始条件和步长
y₀ = 1.0
tspan = (0.0, 1.0) # 解的区间
h = 0.01          # 步长

# Adams二阶方法
adams_2nd_order = DiffEqBase.adams_2nd_order()
sol_2nd_order = solve(dydx!, y₀, tspan, h, abstol=1e-8, reltol=1e-8, saveat=range(0, stop=tspan[2], step=h), alg=adams_2nd_order)

# 计算并绘制Adams二阶方法结果
exact_2nd_order = [exact_solution(t) for t in sol_2nd_order.t]
plot(sol_2nd_order, label="Adams 2nd order", lw=2)
lines!(tspan, exact_2nd_order, linestyle=:dash, label="Exact solution")

# Adams四阶方法
adams_4th_order = DiffEqBase.adams_4th_order()
sol_4th_order = solve(dydx!, y₀, tspan, h, abstol=1e-8, reltol=1e-8, saveat=range(0, stop=tspan[2], step=h), alg=adams_4th_order)

# 绘制Adams四阶方法结果
exact_4th_order = [exact_solution(t) for t in sol_4th_order.t]
plot!(sol_4th_order, label="Adams 4th order", lw=2)
lines!(tspan, exact_4th_order, linestyle=:dashdot, label="Exact solution")

# 显示图表
title!("Solution comparison using Adams methods")
xlabel!("Time")
ylabel!("y(t)")
legend()