logistic目标函数以及求梯度过程matlab

Logistic回归的目标函数通常采用交叉熵损失函数，其表达式为：

$$
J(\theta)=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}[y^{(i)}\log(h_{\theta}(x^{(i)}))+(1-y^{(i)})\log(1-h_{\theta}(x^{(i)}))]
$$

其中，$m$为样本数量，$x^{(i)}$和$y^{(i)}$分别代表第$i$个样本的特征和标签，$h_{\theta}(x^{(i)})$为sigmoid函数，其表达式为：

$$
h_{\theta}(x^{(i)})=\frac{1}{1+\exp(-\theta^Tx^{(i)})}
$$

$\theta$为模型参数，需要通过优化目标函数来求解。

求解目标函数的梯度可以使用梯度下降算法，其过程如下：

1. 初始化参数$\theta$；
2. 计算目标函数$J(\theta)$关于参数$\theta_j$的偏导数，即$\frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_j}$；
3. 根据梯度下降算法的公式更新参数$\theta_j$，即$\theta_j:=\theta_j-\alpha\frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_j}$，其中$\alpha$为学习率，控制每次迭代的步长；
4. 重复步骤2-3，直到目标函数收敛或达到预定的迭代次数。

在Matlab中，可以通过以下代码实现目标函数的求解和梯度下降算法的优化：

% 初始化参数
theta = zeros(n+1, 1); % n为特征数量

% 梯度下降算法
for iter = 1:num_iters % num_iters为迭代次数
    % 计算sigmoid函数值
    h = sigmoid(X * theta);
    
    % 计算目标函数值
    J = -1/m * sum(y .* log(h) + (1-y) .* log(1-h));
    
    % 计算梯度
    grad = 1/m * X' * (h - y);
    
    % 更新参数
    theta = theta - alpha * grad;
end

其中，$X$为$m\times(n+1)$的矩阵，表示样本特征，每行为一个样本的特征向量，第一列为1；$y$为$m\times1$的向量，表示样本标签；$sigmoid$为sigmoid函数的实现。