numpy多维数组梯度计算公式

在NumPy中，可以使用`numpy.gradient`函数来计算多维数组的梯度。该函数接受一个多维数组作为输入，并返回与输入数组具有相同形状的梯度数组。

梯度是一个向量，它表示在每个维度上的变化率。对于一个n维数组，返回的梯度将是一个包含n个元素的列表，每个元素是一个数组，表示在该维度上的变化率。

以下是`numpy.gradient`函数的使用示例：

import numpy as np

# 创建一个二维数组
arr = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])

# 计算数组的梯度
gradient = np.gradient(arr)

# 打印梯度数组
print(gradient)

输出结果为：

[array([[3., 3., 3.],
        [3., 3., 3.],
        [3., 3., 3.]]), array([[1., 1., 1.],
        [1., 1., 1.],
        [1., 1., 1.]])]

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\[ \frac{\partial f}{\partial x_i}(x) \approx \frac{f(x_1,...,x_i + h,...,x_n)-f(x_1,...,x_i-h,...,x_n)}{2h} \]

这里 \( h \) 是一个小量，用于控制采样间隔大小[^2]。

为了更好地理解这一过程，考虑一个简单的 Python 实现如下所示:

import numpy as np

def compute_gradient_central_difference(f, x, h=1e-5):
    """
    计算给定点处的目标函数梯度
    
    参数:
        f : function
            要求解梯度的目标函数.
            
        x : array_like
            函数输入参数列表
            
        h : float
            差分步长，默认为 1e-5.

    返回:
        grad : ndarray
               对应于各输入变量的梯度估计值组成的数组
    """
    
    n = len(x)
    grad = np.zeros(n)

    for i in range(n):
        # 创建增量向量 e[i], 只有第i个位置为1其余全0
        ei = np.zeros_like(x).astype(float)
        ei[i] = 1
        
        # 应用中心差分公式
        grad[i] = (f(x + h * ei) - f(x - h * ei)) / (2*h)
        
    return grad


# 测试例子: 定义测试函数及其真实梯度形式
def test_function(x):
    return x[0]**2 + 3*x[1]**2 

point_to_evaluate = np.array([1., 2.])
estimated_grad = compute_gradient_central_difference(test_function, point_to_evaluate)

print("Estimated Gradient:", estimated_grad)

上述代码实现了基于中心差分的方法来估算任意可调用对象 `f` 的梯度，并通过具体的实例展示了该算法的应用效果。注意这里的 `compute_gradient_central_difference()` 函数接受目标函数 `f`, 输入点 `x` 和步长 `h` 作为参数，返回的是在指定点上对所有自变量取偏导后的结果构成的一维数组。