设集合A={1,2,3,4},A 上的关系R={<x,y>|y是x的整数倍},试用描述法、关系矩阵和关系图表示关系R。
时间: 2023-06-06 15:07:54 浏览: 339
关系R的描述法为:R={(1,1), (2,1), (2,2), (3,1), (3,3), (4,1), (4,2), (4,4)}
关系矩阵如下:
1 2 3 4
1 1 0 0 0
2 1 1 0 0
3 1 0 1 0
4 1 1 0 1
关系图如下:
1
/|\
/ | \
2 3 4
| / \
|/ \
1 2
相关问题
下述关系具有哪些性质. (1)Z上的关系R = {<x,y>|( x,y∈Z)∧(x > y)}; (2)任意集合A上的恒等关系IA = {<x,x >l x ∈A}; (3)B = {1,2,3,…,10}上的关系R = {<x,y>|( x,y∈B) ∧(x + y = 10)}.
1. 关系R = {<x,y>|( x,y∈Z)∧(x > y)} 是Z上的一个严格偏序关系,它满足反自反性、反对称性和传递性,但不满足自反性。
2. 恒等关系IA = {<x,x >l x ∈A} 是集合A上的一个等价关系,它满足自反性、对称性和传递性。
3. 关系R = {<x,y>|( x,y∈B) ∧(x + y = 10)} 是B上的一个等价关系,它把B中的元素分成了五组,分别是{1,9}、{2,8}、{3,7}、{4,6}和{5}。它满足自反性、对称性和传递性。
3. 证明 R = {<x, y>| |x - 8| = |y - 8|, x, y ∈ I} 为等价关系, 并确定等价类,商集
为证明 R 是等价关系,需要满足以下三个条件:
1. 自反性:对于任意的 x∈I,都有<x, x>∈R
显然,当 x=8 时,|x-8|=0,因此 <8, 8>∈R,所以 R 满足自反性。
2. 对称性:对于任意的 x, y∈I,若<x, y>∈R,则<y, x>∈R
假设 <x, y>∈R,即 |x-8|=|y-8|,则有 |y-8|=|x-8|,即 <y, x>∈R,因此 R 满足对称性。
3. 传递性:对于任意的 x, y, z∈I,若<x, y>∈R 且<y, z>∈R,则<x, z>∈R
假设 <x, y>∈R 且<y, z>∈R,即 |x-8|=|y-8| 且 |y-8|=|z-8|,则有 |x-8|=|z-8|,即 <x, z>∈R,因此 R 满足传递性。
由于 R 满足自反性、对称性和传递性,因此 R 是等价关系。接下来确定等价类:
对于任意的 x∈I,等价类 [x] = {y∈I | <x, y>∈R},即 [x] 为与 x 等价的所有元素的集合。根据定义,对于任意的 x∈I,有 |x-8|=|y-8| 当且仅当 y 取 x±k(k∈N),因此 [x] = {x-k, x+k | k∈N}。
最后确定商集,商集 I/R 是所有等价类的集合,即 I/R = {[x] | x∈I}。根据上面的等价类的定义,可以得到 I/R = {[x] | [x] = {x-k, x+k | k∈N}}。