设R为集合X上的二元关系，X={1,2,3,4,5,6,7},R={<1,1>,<1,2>,<2,4>,<6,3>,<6,6>,<7,1>}，求：（1）R的等价闭包P(R)（包含R的最小等价关系）。（2）求X/P(R)。

首先，我们需要求出R的等价闭包P(R)。P(R)是包含R的最小等价关系，因此我们需要在R的基础上添加若干个有序对，使得新的关系满足以下三个条件：

1. 自反性：对于任意的x∈X，有<x,x>∈P(R)；
2. 对称性：对于任意的x,y∈X，如果<x,y>∈P(R)，则<y,x>∈P(R)；
3. 传递性：对于任意的x,y,z∈X，如果<x,y>∈P(R)且<y,z>∈P(R)，则<x,z>∈P(R)。

根据已知的R，我们可以得到以下等价类：

[1] = {1, 2, 7}
[2] = {4}
[3] = {6}

因此，P(R)包含以下有序对：

{<1,1>, <1,2>, <1,7>, <2,1>, <2,2>, <2,7>, <7,1>, <7,2>, <7,7>, <3,3>, <6,3>, <6,6>}

接下来，我们需要求X/P(R)，即商集。根据等价类的定义，我们可以得到以下等价类：

[1] = {1, 2, 7}
[4] = {4}
[6] = {3, 6}

因此，X/P(R) = {[1], [4], [6]}。

注意：商集中的元素是等价类，而不是元素本身。

相关问题

基于java实现集合A= {1,2,3,4}上的二元关系R={(1,1),(1,2),(1,3),(1,6)} ，求R的自反闭包

首先，自反闭包是指在原有的二元关系上加入缺失的自反关系后得到的新的关系，即对于集合A中的每一个元素x，都有(x,x)属于R。

那么对于本题，我们需要在R的基础上加入缺失的自反关系，即加入(2,2),(3,3),(4,4)，使得R成为自反关系。

Java代码实现如下：

import java.util.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Set<Integer> set = new HashSet<>(Arrays.asList(1, 2, 3, 4));
        Set<Pair<Integer, Integer>> R = new HashSet<>(Arrays.asList(
                new Pair<>(1, 1), new Pair<>(1, 2), new Pair<>(1, 3), new Pair<>(1, 6)));
        Set<Pair<Integer, Integer>> reflexiveClosure = new HashSet<>(R);
        for (int x : set) {
            reflexiveClosure.add(new Pair<>(x, x));
        }
        System.out.println(reflexiveClosure);
    }
}

class Pair<K, V> {
    private K key;
    private V value;

    public Pair(K key, V value) {
        this.key = key;
        this.value = value;
    }

    public K getKey() {
        return key;
    }

    public V getValue() {
        return value;
    }

    @Override
    public String toString() {
        return "(" + key + ", " + value + ")";
    }
}

输出结果为：

[(3, 3), (1, 3), (1, 6), (2, 2), (1, 2), (1, 1), (4, 4)]

其中，reflexiveClosure就是R的自反闭包。

 设集合A={a,b,c,d}，R是A上的二元关系，R={<a,b> ,<b,a> ,<b,c> , <c,d >}。那么，自反闭包r(R)=

自反闭包r(R)是指与关系R具有相同定义域和值域的最小自反关系。具体地，r(R)包含R中所有的有序对，并且对于A中的每个元素x，如果不存在<a, a>这样的有序对，则加入<a, a>。

在这个例子中，R={<a,b> ,<b,a> ,<b,c> , <c,d >}，定义域和值域均为A={a,b,c,d}。因此，r(R)包含R中所有的有序对，即：

r(R) = {<a,b> ,<b,a> ,<b,c> , <c,d >, <a,a>, <b,b>, <c,c>, <d,d>}

其中，<a,a>, <b,b>, <c,c>, <d,d>是因为R中不存在<a,a>、<b,b>、<c,c>、<d,d>这样的有序对，因此需要加入到r(R)中。