七自由度逆动力学 拉格朗日法 matlab

七自由度逆动力学（Inverse Kinematics）是指在给定目标末端执行器的位置和姿态时，求出机械臂各关节的运动学状态。这个问题在机械臂的控制中非常重要，因为它可以指导机械臂的运动以达到特定的目标。

使用拉格朗日法可以很方便地求解机械臂的逆动力学问题。拉格朗日法是一种基于能量的方法，它将系统的动能和势能表示为广义坐标的函数，并利用欧拉-拉格朗日方程求解系统的运动方程。

在matlab中，可以使用symbolic toolbox实现拉格朗日法求解机械臂的逆动力学问题。首先，需要定义机械臂的运动学模型和拉格朗日量。然后，使用欧拉-拉格朗日方程求解机械臂的运动方程。最后，可以使用数值方法求解得到机械臂各关节的运动状态。

以下是一个使用matlab实现七自由度机械臂逆动力学的示例代码：

%定义机械臂的运动学模型和拉格朗日量
syms q1 q2 q3 q4 q5 q6 q7 real
syms l1 l2 l3 l4 l5 l6 l7 real
syms m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 real
syms I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7 real
syms g real

T01 = DH(q1, 0, 0, -pi/2);
T12 = DH(q2, l1, 0, pi/2);
T23 = DH(q3, l2, 0, -pi/2);
T34 = DH(q4, l3, 0, pi/2);
T45 = DH(q5, 0, l4, -pi/2);
T56 = DH(q6, 0, l5, pi/2);
T67 = DH(q7, l6+l7, 0, 0);

T07 = T01*T12*T23*T34*T45*T56*T67;

P07 = T07(1:3,4);

Jv = simplify(jacobian(P07,[q1 q2 q3 q4 q5 q6 q7]));

T = simplify(0.5*(m1*P07.'*P07 + Jv.'*diag([m2 m3 m4 m5 m6 m7])*Jv));

%使用欧拉-拉格朗日方程求解机械臂的运动方程
L = T - m1*g*P07(3);
dLdq = simplify(jacobian(L, [q1 q2 q3 q4 q5 q6 q7]));
dLdqdt = simplify(jacobian(L, [diff(q1) diff(q2) diff(q3) diff(q4) diff(q5) diff(q6) diff(q7)]));
eqs = simplify(dLdqdt - dLdq);

%定义机械臂的参数
params = struct('l1',0.2,'l2',0.2,'l3',0.2,'l4',0.2,'l5',0.2,'l6',0.2,'l7',0.1,...
                'm1',1,'m2',1,'m3',1,'m4',1,'m5',1,'m6',1,'m7',1,...
                'I1',1,'I2',1,'I3',1,'I4',1,'I5',1,'I6',1,'I7',1,...
                'g',9.8);

%定义机械臂的初始状态和目标状态
q0 = [0 0 0 0 0 0 0];
T07d = [1 0 0 0.5;
        0 1 0 0.5;
        0 0 1 0.5;
        0 0 0 1];

%使用数值方法求解机械臂的运动状态
q = q0.';
J = double(subs(Jv, [q1 q2 q3 q4 q5 q6 q7], q.'));
T07 = double(subs(T07, [q1 q2 q3 q4 q5 q6 q7], q.'));
T07d = double(T07d);
e = T07d(1:3,4) - T07(1:3,4);
while(norm(e) > 1e-6)
    eqs_t = double(subs(eqs, [q1 q2 q3 q4 q5 q6 q7], q.'));
    qdot = inv(J)*[e;0;0;0];
    q = q + qdot*0.001;
    J = double(subs(Jv, [q1 q2 q3 q4 q5 q6 q7], q.'));
    T07 = double(subs(T07, [q1 q2 q3 q4 q5 q6 q7], q.'));
    e = T07d(1:3,4) - T07(1:3,4);
end

%输出机械臂的运动状态
q
T07

其中，DH函数表示Denavit-Hartenberg参数化，用于计算机械臂的变换矩阵。在示例中，机械臂的参数通过一个struct变量params传递，可以方便地修改机械臂的参数。在while循环中，使用数值方法求解机械臂的运动状态，直到机械臂的末端执行器到达目标位置。

这个示例可以帮助理解使用拉格朗日法求解机械臂逆动力学问题的基本思路和方法。在实际应用中，需要根据具体的机械臂类型和任务需求设计相应的控制算法。