三自由度动力学逆解 拉格朗日法 Matlab示例

以下是一个简单的 Matlab 示例，用于实现三自由度机械臂的动力学逆解，使用拉格朗日法。

假设机械臂有三个关节，其中第 i 个关节的位置为 qi，速度为 qidot，加速度为 qi2dot，质量为 mi，重心位置为 ri，惯性张量为 Ii，外力为 Fi，重力加速度为 g。我们可以使用以下代码来计算机械臂的动力学逆解：

function [tau] = inv_dyn(q, qdot, q2dot, m, r, I, F, g)
% q - joint position vector (3x1)
% qdot - joint velocity vector (3x1)
% q2dot - joint acceleration vector (3x1)
% m - mass vector (3x1)
% r - center of mass position vector (3x3)
% I - inertia tensor matrix (3x3x3)
% F - external force vector (3x1)
% g - gravity acceleration vector (3x1)

% constants
n = 3; % number of joints

% preallocate matrices
H = zeros(n, n); % inertia matrix
C = zeros(n, n); % coriolis matrix
G = zeros(n, 1); % gravity matrix

% calculate inertia matrix
for i = 1:n
    H(i,i) = m(i) + r(i,:)*r(i,:)'*m(i) - trace(I(:,:,i));
    for j = 1:n
        if j > i
            H(i,j) = -r(i,:)*r(j,:)'*m(j);
            H(j,i) = H(i,j);
        end
        H(i,j) = H(i,j) + sum((squeeze(I(:,:,i))*r(i,:)'*r(j,:)'*squeeze(I(:,:,j)))');
    end
end

% calculate coriolis matrix
for i = 1:n
    for j = 1:n
        for k = 1:n
            C(i,j) = C(i,j) + 0.5*(diff(H(i,j),q(k)) + diff(H(i,k),q(j)) - diff(H(j,k),q(i)))*qdot(k);
        end
    end
end

% calculate gravity matrix
for i = 1:n
    G(i) = g'*r(i,:)'*m(i);
end

% calculate torque vector
tau = H*q2dot + C*qdot + G + F;
end

在这个函数中，我们首先计算了机械臂的惯性矩阵 H，其中包含了机械臂每个关节的质量和惯性张量。然后，我们计算了机械臂的科里奥利矩阵 C，它包含了由于机械臂的旋转而产生的离心力和科里奥利力。最后，我们计算了机械臂的重力矩阵 G，它包含了由于重力而产生的力矩。通过将这些矩阵组合起来，我们可以计算机械臂的逆动力学问题，以获得必要的关节力矩来实现所需的运动。

要使用此函数，您可以调用以下代码：

% example usage
q = [0; 0; 0]; % joint positions
qdot = [0; 0; 0]; % joint velocities
q2dot = [0; 0; 0]; % joint accelerations
m = [1; 1; 1]; % joint masses
r = [0.1 0.2 0.3; 0.2 0.3 0.4; 0.3 0.4 0.5]; % center of mass positions
I = zeros(3,3,3); % inertia tensor matrices
I(:,:,1) = [1 0 0; 0 2 0; 0 0 3];
I(:,:,2) = [2 0 0; 0 3 0; 0 0 4];
I(:,:,3) = [3 0 0; 0 4 0; 0 0 5];
F = [0; 0; 0]; % external forces
g = [0; 0; -9.81]; % gravity acceleration

tau = inv_dyn(q, qdot, q2dot, m, r, I, F, g); % calculate joint torques

在这个例子中，我们定义了一个简单的三自由度机械臂，其中每个关节都有相同的质量和重心位置。我们还定义了每个关节的惯性张量，以及机械臂的重力加速度。然后，我们调用了我们的 inv_dyn 函数，以计算所需的关节力矩。