有限差分法离散二阶常微分方程的非线性边值问题，离散成非线性方程组，然后用牛顿法求解，matlab编程

首先，我们先将常微分方程离散化成差分方程，再利用有限差分法将其离散化为一组非线性方程组。

考虑二阶常微分方程：

$$ y''(x)=f(x,y(x),y'(x)) $$

对其进行二阶中心差分离散化，得到：

$$ \frac{y_{i-1}-2y_i+y_{i+1}}{h^2}=f(x_i,y_i,\frac{y_{i+1}-y_{i-1}}{2h}) $$

其中，$h$为离散化步长，$x_i=ih$，$y_i$为$y(x_i)$的近似值。将式子整理一下，得到：

$$ y_{i-1}-(2+h^2f(x_i,y_i,\frac{y_{i+1}-y_{i-1}}{2h}))y_i+y_{i+1}=0 $$

这样，我们就将原方程离散化成了一组非线性方程组。然后，我们可以使用牛顿法进行求解。牛顿法的迭代公式为：

$$ x_{k+1}=x_k-J^{-1}(x_k)f(x_k) $$

其中，$x_k$为第$k$次迭代的解，$f(x_k)$为非线性方程组，$J(x_k)$为$f(x_k)$的雅可比矩阵。

具体的matlab代码如下所示：

function [y] = nonlinear_bvp(f,df,ya,yb,h,x0,tol)
% f: 函数句柄，df: 导数函数句柄，ya,yb: 边界条件，h: 步长，x0: 初始解，tol: 容差
% y: 解向量
x = 0:h:1; % 离散化x轴
y = x0; % 初始解
err = 1; % 初始误差
while err > tol % 牛顿迭代
    F = zeros(length(x)-2,1); % 非线性方程组
    J = zeros(length(x)-2); % 雅可比矩阵
    for i = 2:length(x)-1
        F(i-1) = y(i-1) - (2+h^2*f(x(i),y(i),(y(i+1)-y(i-1))/(2*h)))*y(i) + y(i+1); % 非线性方程组
        J(i-1,i-1) = -2-h^2*df(x(i),y(i),(y(i+1)-y(i-1))/(2*h)); % 雅可比矩阵
        J(i-1,i) = 1; % 雅可比矩阵
        J(i-1,i+1) = 1; % 雅可比矩阵
    end
    delta = -J\F; % 求解方程组
    y(2:end-1) = y(2:end-1) + delta; % 更新解
    err = norm(delta); % 计算误差
end
y = [ya,y,yb]; % 加上边界条件
end

其中，$f(x,y,y')$和$df(x,y,y')$分别为常微分方程右侧和右侧对$y$的导数，$ya$和$yb$为边界条件，$h$为离散化步长，$x0$为初始解，$tol$为容差。