长为l,质量为 m1 的匀质杆,可绕通过O点垂直于纸面的轴转动,令杆自水平位置静止摆下,在竖直位置处与质量为m2的物体作完全非弹性碰撞,碰后物体沿摩擦因数为μ的水平面滑动,物体滑动前的速率
时间: 2024-01-24 08:18:17 浏览: 23
首先需要根据机械能守恒定律列出方程:
$$
\frac{1}{2}m_1v_1^2 = (m_1+m_2)gh - \frac{1}{2}(m_1+m_2)v_f^2 - \mu(m_1+m_2)gh
$$
其中,$v_1$为杆静止摆放时竖直位置处的速度,$v_f$为碰撞后物体滑动的速度,$h$为竖直方向的高度差,$g$为重力加速度。
因为杆在竖直位置处静止,所以根据机械能守恒定律可得:
$$
\frac{1}{2}m_1v_1^2 = (m_1+m_2)gh
$$
将上式代入第一式可得:
$$
v_f = \sqrt{2gh\left(\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2+\mu m_2}\right)}
$$
因为物体是竖直向下运动,所以速度为负值,即:
$$
v_f = -\sqrt{2gh\left(\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2+\mu m_2}\right)}
$$
所以物体滑动前的速率为:
$$
v_1 = -\sqrt{\frac{2(m_1+m_2)gh}{m_1}}
$$
相关问题
一平面通过两点M0(1,1,1)和M1(0,1,-1)且垂直于平面x+y+8=0,则该平面方程可表示为?
首先,平面 $xy=8$ 在三维空间中可以看作是 $z=0$ 的平面,因为平面上的所有点都满足 $z=0$。
现在考虑一个垂直于 $xy=8$ 的平面,可以考虑取平面上的一个点,例如 $P(2,2,0)$,然后取该点与 $M_0$ 和 $M_1$ 的向量,分别为 $\vec{a}=\begin{pmatrix}1-2\\1-2\\1-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}$ 和 $\vec{b}=\begin{pmatrix}0-2\\1-2\\-1-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-1\\-1\end{pmatrix}$。
由于垂直于平面 $xy=8$ 的平面必定与 $xy=8$ 平面上的法向量垂直,因此可以取 $xy=8$ 平面的法向量 $\vec{n}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$,并要求该向量与 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 都垂直,即 $\vec{n}\cdot\vec{a}=0$ 且 $\vec{n}\cdot\vec{b}=0$。
将 $\vec{n}$ 和 $\vec{a}$ 代入第一个式子中,得到 $0=(-1)\cdot0+(-1)\cdot0+1\cdot n_3$,即 $n_3=1$。将 $\vec{n}$ 和 $\vec{b}$ 代入第二个式子中,得到 $0=(-2)\cdot0+(-1)\cdot0+(-1)\cdot n_3$,即 $n_3=1$。因此,$\vec{n}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$。
现在可以通过点 $P$ 和法向量 $\vec{n}$ 来确定平面方程,即 $(x-2)\cdot0+(y-2)\cdot0+(z-0)\cdot1=0$,即 $z=2-x-y$。因此,该平面的方程为 $z=2-x-y$。
对于不规则的物体,如何计算他的转动惯量?比如计算一个质量不能被忽略的直杆并且头部还装着一个圆球体做绕一个定点做钟摆运动的转动惯量,旋转轴在直杆的底部,不能改变
对于这个问题,可以采用另一种方法来计算物体的转动惯量,即使用Steiner定理。
首先需要确定旋转轴的位置。根据问题描述,旋转轴在直杆的底部,因此可以将底部作为旋转轴。
接下来,需要计算直杆和球体分别绕底部旋转轴的转动惯量。直杆的转动惯量可以使用基本公式进行计算:
I1 = (1/3) m1L^2
其中L是杆的长度,m1是杆的质量。注意到杆的中心并不在旋转轴上,因此需要使用Steiner定理来计算杆绕底部旋转轴的转动惯量。设杆的中心距离底部旋转轴的距离为d,则:
I1' = I1 + m1d^2
其中I1'是杆绕底部旋转轴的转动惯量。
球体的转动惯量可以使用标准公式进行计算:
I2 = (2/5) m2R^2
其中m2是球体的质量,R是球体的半径。同样地,球体的中心不在旋转轴上,因此需要使用Steiner定理来计算球体绕底部旋转轴的转动惯量。设球体的中心距离底部旋转轴的距离为d',则:
I2' = I2 + m2d'^2
其中d'等于球体的半径加上杆的长度。
最后,使用平行轴定理将两个部分的转动惯量相加,得到整个物体绕底部旋转轴的转动惯量:
I = I1' + I2'
需要注意的是,在应用平行轴定理时,需要将转动惯量和质量分别加上物体的中心到旋转轴的距离的平方和质量,这些距离应该是沿着与旋转轴垂直的方向测量的。