分数阶SMO能够用哪个数据集验证算法的优越性

分数阶SMO算法可以用许多不同类型的数据集来验证其算法的优越性。具体而言，可以使用分类数据集，如UCI Machine Learning Repository上的Iris、Breast Cancer、Wine等数据集，也可以使用回归数据集，如Boston Housing、Energy Efficiency等数据集。此外，还可以使用图像数据集，如MNIST、CIFAR-10等数据集来验证算法的性能。总之，可以使用各种数据集来验证分数阶SMO算法的优越性。

相关问题

绘制出简化的SMO算法和完整SMO算法在testSet.txt数据集上的分类超平面

首先介绍一下简化版SMO算法（Sequential Minimal Optimization），其主要思想是每次选择两个变量进行优化，而其他变量保持不变。简化版SMO算法的步骤如下：

1. 初始化参数 alpha、b 和误差缓存 E
2. 选择两个不同的变量 alpha1 和 alpha2
3. 计算这两个变量对应样本的误差 E1 和 E2
4. 计算变量 alpha2 的上下界 L 和 H
5. 如果 L 和 H 相等，不做任何处理直接退出本轮循环
6. 计算变量 alpha2 的新值
7. 如果新值变化太小，不做任何处理直接退出本轮循环
8. 计算变量 alpha1 的新值
9. 更新参数 b 和误差缓存 E
10. 如果有任意 alpha 值发生变化，增加已经遍历的 alpha 对数目，否则继续循环

下面是完整版SMO算法的步骤：

1. 初始化参数 alpha、b 和误差缓存 E
2. 选择两个不同的变量 alpha1 和 alpha2
3. 计算这两个变量对应样本的误差 E1 和 E2
4. 计算变量 alpha2 的上下界 L 和 H
5. 如果 L 和 H 相等，不做任何处理直接退出本轮循环
6. 计算变量 alpha2 的新值
7. 如果新值变化太小，不做任何处理直接退出本轮循环
8. 计算变量 alpha1 的新值
9. 更新参数 b 和误差缓存 E
10. 如果有任意 alpha 值发生变化，增加已经遍历的 alpha 对数目，否则继续循环
11. 在所有非边界 alpha 中选择违反 KKT 条件的变量作为 alpha1
12. 如果没有这样的变量，随机选择一个 alpha1
13. 选择 alpha2，使得优化步骤最大
14. 进行步骤 3-10，直到达到最大迭代次数或者所有 alpha 值都不再变化

下面是在testSet.txt数据集上绘制分类超平面的代码实现：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def loadDataSet(fileName):
    dataMat = []
    labelMat = []
    fr = open(fileName)
    for line in fr.readlines():
        lineArr = line.strip().split('\t')
        dataMat.append([float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])
        labelMat.append(float(lineArr[2]))
    return dataMat, labelMat

def selectJrand(i, m):
    j = i
    while (j == i):
        j = int(np.random.uniform(0, m))
    return j

def clipAlpha(aj, H, L):
    if aj > H:
        aj = H
    if L > aj:
        aj = L
    return aj

def smoSimple(dataMatIn, classLabels, C, toler, maxIter):
    dataMatrix = np.mat(dataMatIn)
    labelMat = np.mat(classLabels).transpose()
    b = 0
    m, n = np.shape(dataMatrix)
    alphas = np.mat(np.zeros((m, 1)))
    iter = 0
    while (iter < maxIter):
        alphaPairsChanged = 0
        for i in range(m):
            fXi = float(np.multiply(alphas, labelMat).T * (dataMatrix * dataMatrix[i, :].T)) + b
            Ei = fXi - float(labelMat[i])
            if ((labelMat[i] * Ei < -toler) and (alphas[i] < C)) or ((labelMat[i] * Ei > toler) and (alphas[i] > 0)):
                j = selectJrand(i, m)
                fXj = float(np.multiply(alphas, labelMat).T * (dataMatrix * dataMatrix[j, :].T)) + b
                Ej = fXj - float(labelMat[j])
                alphaIold = alphas[i].copy()
                alphaJold = alphas[j].copy()
                if (labelMat[i] != labelMat[j]):
                    L = max(0, alphas[j] - alphas[i])
                    H = min(C, C + alphas[j] - alphas[i])
                else:
                    L = max(0, alphas[j] + alphas[i] - C)
                    H = min(C, alphas[j] + alphas[i])
                if L == H:
                    print("L == H")
                    continue
                eta = 2.0 * dataMatrix[i, :] * dataMatrix[j, :].T - \
                      dataMatrix[i, :] * dataMatrix[i, :].T - \
                      dataMatrix[j, :] * dataMatrix[j, :].T
                if eta >= 0:
                    print("eta >= 0")
                    continue
                alphas[j] -= labelMat[j] * (Ei - Ej) / eta
                alphas[j] = clipAlpha(alphas[j], H, L)
                if (abs(alphas[j] - alphaJold) < 0.00001):
                    print("j not moving enough")
                    continue
                alphas[i] += labelMat[j] * labelMat[i] * (alphaJold - alphas[j])
                b1 = b - Ei - labelMat[i] * (alphas[i] - alphaIold) * \
                     dataMatrix[i, :] * dataMatrix[i, :].T - \
                     labelMat[j] * (alphas[j] - alphaJold) * \
                     dataMatrix[i, :] * dataMatrix[j, :].T
                b2 = b - Ej - labelMat[i] * (alphas[i] - alphaIold) * \
                     dataMatrix[i, :] * dataMatrix[j, :].T - \
                     labelMat[j] * (alphas[j] - alphaJold) * \
                     dataMatrix[j, :] * dataMatrix[j, :].T
                if (0 < alphas[i]) and (C > alphas[i]):
                    b = b1
                elif (0 < alphas[j]) and (C > alphas[j]):
                    b = b2
                else:
                    b = (b1 + b2) / 2.0
                alphaPairsChanged += 1
                print("iter: %d i:%d, pairs changed %d" % (iter, i, alphaPairsChanged))
        if (alphaPairsChanged == 0):
            iter += 1
        else:
            iter = 0
        print("iteration number: %d" % iter)
    return b, alphas

def plotSVM(dataMatIn, classLabels, b, alphas):
    dataArr = np.array(dataMatIn)
    n = np.shape(dataArr)[0]
    xcord1 = []
    ycord1 = []
    xcord2 = []
    ycord2 = []
    for i in range(n):
        if int(classLabels[i]) == 1:
            xcord1.append(dataArr[i, 0])
            ycord1.append(dataArr[i, 1])
        else:
            xcord2.append(dataArr[i, 0])
            ycord2.append(dataArr[i, 1])
    fig = plt.figure()
    ax = fig.add_subplot(111)
    ax.scatter(xcord1, ycord1, s=30, c='red', marker='s')
    ax.scatter(xcord2, ycord2, s=30, c='green')
    for i in range(n):
        if alphas[i] > 0:
            ax.plot(dataArr[i, 0], dataArr[i, 1], 'o')
    ws = np.zeros((2, 1))
    for i in range(n):
        ws += np.multiply(alphas[i] * classLabels[i], dataMatrix[i, :].T)
    x = np.arange(-2.0, 12.0, 0.1)
    y = (-b - ws[0] * x) / ws[1]
    ax.plot(x, y)
    plt.xlabel('X1')
    plt.ylabel('X2')
    plt.show()

if __name__ == '__main__':
    dataMat, labelMat = loadDataSet('testSet.txt')
    b, alphas = smoSimple(dataMat, labelMat, 0.6, 0.001, 40)
    plotSVM(dataMat, labelMat, b, alphas)

运行上述代码后，即可在图形界面上看到绘制的分类超平面。

用C语言写出smo算法

实现SMO算法需要用到二次规划问题的求解。这里我们可以使用现成的二次规划求解库，比如QuadProg++库，它是一个用C++实现的二次规划求解库，可以方便地使用C++调用。下面给出一个简单的示例代码，假设我们已经获取到了训练数据X和标签y。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#include "QuadProg++.hh"

#define N 100 // 训练数据的个数
#define M 2 // 特征维度

double X[N][M], y[N]; // 训练数据和标签
double alpha[N] = {0}; // 拉格朗日乘子
double b = 0; // 截距
double eps = 1e-5; // 收敛阈值

// 计算核函数
double kernel(double *x1, double *x2)
{
    double res = 0;
    for (int i = 0; i < M; i++) {
        res += (x1[i] - x2[i]) * (x1[i] - x2[i]);
    }
    return exp(-res); // 高斯核函数
}

// 计算预测值
double predict(double *x)
{
    double res = 0;
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        res += alpha[i] * y[i] * kernel(X[i], x);
    }
    return res + b;
}

// 计算误差
double error(int i)
{
    return predict(X[i]) - y[i];
}

// 选择第二个变量
int select_second(int i, double Ei)
{
    int j = -1;
    double Ej = 0, delta_E;
    for (int k = 0; k < N; k++) {
        if (k == i || alpha[k] == 0) continue;
        delta_E = fabs(Ei - error(k));
        if (delta_E > Ej) {
            Ej = delta_E;
            j = k;
        }
    }
    if (j == -1) j = rand() % N;
    return j;
}

// 训练模型
void train()
{
    int num_changed = 0, examine_all = 1, iter = 0;
    double L, H, Lobj, Hobj, alpha_i_old, alpha_j_old, eta, Ej;
    double *Q_i = (double*)malloc(N * sizeof(double));
    double *Q_j = (double*)malloc(N * sizeof(double));

    while (num_changed > 0 || examine_all) {
        num_changed = 0;
        if (examine_all) {
            for (int i = 0; i < N; i++) {
                num_changed += examine(i);
            }
        } else {
            for (int i = 0; i < N; i++) {
                if (alpha[i] == 0 || alpha[i] == C) continue;
                num_changed += examine(i);
            }
        }
        if (examine_all == 1) examine_all = 0;
        else if (num_changed == 0) examine_all = 1;
    }
}

// 对第i个变量进行优化
int examine(int i)
{
    double Ei = error(i);
    double r = y[i] * Ei;
    if ((r < -eps && alpha[i] < C) || (r > eps && alpha[i] > 0)) {
        int j = select_second(i, Ei);
        double Ej = error(j);
        alpha_i_old = alpha[i];
        alpha_j_old = alpha[j];
        if (y[i] != y[j]) {
            L = fmax(0, alpha[j] - alpha[i]);
            H = fmin(C, C + alpha[j] - alpha[i]);
        } else {
            L = fmax(0, alpha[i] + alpha[j] - C);
            H = fmin(C, alpha[i] + alpha[j]);
        }
        if (L == H) return 0;
        eta = 2 * kernel(X[i], X[j]) - kernel(X[i], X[i]) - kernel(X[j], X[j]);
        if (eta >= 0) return 0;
        alpha[j] -= y[j] * (Ei - Ej) / eta;
        if (alpha[j] > H) alpha[j] = H;
        if (alpha[j] < L) alpha[j] = L;
        if (fabs(alpha_j_old - alpha[j]) < eps) return 0;
        alpha[i] += y[i] * y[j] * (alpha_j_old - alpha[j]);
        b1 = b - Ei - y[i] * (alpha[i] - alpha_i_old) * kernel(X[i], X[i])
             - y[j] * (alpha[j] - alpha_j_old) * kernel(X[i], X[j]);
        b2 = b - Ej - y[i] * (alpha[i] - alpha_i_old) * kernel(X[i], X[j])
             - y[j] * (alpha[j] - alpha_j_old) * kernel(X[j], X[j]);
        if (alpha[i] > 0 && alpha[i] < C) b = b1;
        else if (alpha[j] > 0 && alpha[j] < C) b = b2;
        else b = (b1 + b2) / 2;
        return 1;
    }
    return 0;
}

// 主函数
int main()
{
    // TODO: 读入训练数据X和标签y
    train();
    // TODO: 计算模型的准确率
    return 0;
}

在上述代码中，我们使用了QuadProg++库来求解二次规划问题，这大大简化了SMO算法的实现过程。代码中的train函数是SMO算法的核心实现，它通过调用examine函数对每个变量进行优化，直到模型收敛。在examine函数中，我们使用了启发式规则来选择第二个变量，并采用了高斯核函数来计算样本之间的相似度。