利用主定理说明以下时间函数的复杂度: T(n) = 9T(n/3) + n ;T(n) = T(2n/3) + 1 ;T(n) = 3T(n/4) + nlogn

针对您的第一个问题，我可以进行回答。

对于 T(n) = 9T(n/3) + n 这个时间函数，可以利用主定理来求其时间复杂度。主定理的形式是：T(n) = aT(n/b) + f(n)，其中 a ≥ 1, b > 1, f(n) 是一个渐进正的函数。

首先将 T(n) = 9T(n/3) + n 这个时间函数写成主定理的形式，可以得到 a = 9，b = 3，f(n) = n。然后根据主定理的第二种情况，如果 f(n) = Θ(n^logb a)，那么 T(n) 的时间复杂度是 Θ(n^logb a * log n)。因此，该时间函数的时间复杂度为 Θ(n^2)，其中，log_3 9 = 2。

对于 T(n) = T(2n/3) + 1 这个时间函数，可以发现它是一个典型的二分查找的时间复杂度。因为每次查找规模都减小为原来的 2/3，所以该时间函数的时间复杂度为 O(log n)。

对于 T(n) = 3T(n/4) + nlogn 这个时间函数，同样可以利用主定理来求解。将其写成主定理的形式，可以得到 a = 3，b = 4，f(n) = nlogn。然后根据主定理的第三种情况，如果 f(n) = Ω(n^logb a)，那么 T(n) 的时间复杂度是 Θ(f(n))。因此，该时间函数的时间复杂度为 Θ(nlog^2 n)，其中，log_4 3 < 1。

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利用主定理说明以下时间函数的复杂度: T(n) = 9T(n/3) + n ;T(n) = T(2n/3) + 1 ;T(n) = 3T(n/4) + nlogn;T(n)=2T(n/2)+n

根据主定理，对于时间函数 T(n) = 9T(n/3) + n，其中 a = 9，b = 3，d = 1，可以得到 T(n) 的复杂度为 O(nlogb a) = O(nlog3 9)。

对于时间函数 T(n) = T(2n/3) + 1，其中 a = 1，b = 3/2，d = 0，可以得到 T(n) 的复杂度为 O(logb n) = O(log3/2 n)。

对于时间函数 T(n) = 3T(n/4) + nlogn，其中 a = 3，b = 4，d = nlogn，可以得到 T(n) 的复杂度为 O(nlogb a) = O(nlog4 3)。

对于时间函数 T(n) = 2T(n/2) + n，其中 a = 2，b = 2，d = n，可以得到 T(n) 的复杂度为 O(nlogb a) = O(nlog2 2) = O(n)。

T(n) = 2T(n/2) + nlogn的asymptotically tight bound

我们可用主定理（Master Theorem）来证明T(n) = 2T(n/2) 的时间复杂度为nlogn的asymptotically tight bound。

根据主定理，对于递归式T(n) = aT(n/b) + f(n)（其中a和b为常数，且f(n)为渐进正的函数）：

如果f(n) = O(n^log[b]a-ε) 对某个常数ε > 0，则T(n) = Θ(n^log[b]a)。
如果f(n) = Θ(n^log[b]a * logk n)，则T(n) = Θ(n^log[b]a * logk+1 n) 。
如果f(n) = Ω(n^log[b]a+ε) 对某个常数ε > 0，并且如果对某个常数c < 1和足够大的n，有af(n/b) ≤ cf(n)，则T(n) = Θ(f(n)) 。

在这里，a = 2，b = 2，f(n) = 0，因此f(n) = Θ(n^0)，即 f(n) = Θ(1)。

因为 f(n) = Θ(1) = Θ(n^0)，所以我们可以应用主定理的第一种情况来计算时间复杂度，即：

T(n) = Θ(n^log[b]a) = Θ(n^log[2]2) = Θ(nlogn)

证毕。