笛卡尔心形图——数学家的浪漫 现给出参数方程 其中a为任意数值，θ为角度。 请根据上述方程，a可以是任意数，θ为0~2Π，绘制出x、y的关系图。要求线性颜色为红色、线的样式为’-’，并将爱心图保存为pdf。

好的，我可以通过Python语言绘制出笛卡尔心形图，并保存为pdf格式。以下是代码实现：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.backends.backend_pdf import PdfPages

a = 1  # a为任意数值
theta = np.linspace(0, 2*np.pi, 1000)  # 角度范围为0~2Π

x = a*(2*np.sin(theta)-np.sin(2*theta))
y = a*(2*np.cos(theta)-np.cos(2*theta))

# 绘制心形图
plt.plot(x, y, color='red', linestyle='-')

# 保存为pdf格式
with PdfPages('heart.pdf') as pdf:
    pdf.savefig()
    
plt.show()

运行以上代码，就可以得到红色线性样式为'-'的笛卡尔心形图，并保存为pdf文件。

相关问题

A和B的笛卡尔积为空集等价于A为空集或者B为空集证明

要证明A和B的笛卡尔积为空集等价于A为空集或者B为空集，需要证明以下两个命题：

1. 若A和B的笛卡尔积为空集，则A为空集或者B为空集；
2. 若A为空集或者B为空集，则A和B的笛卡尔积为空集。

证明第一个命题：

假设A和B的笛卡尔积为空集，那么对于A中的任意一个元素a和B中的任意一个元素b，都不满足(a,b)属于A和B的笛卡尔积。因此，对于A中的任意一个元素a，都不存在B中的任意一个元素b，使得(a,b)属于A和B的笛卡尔积。因此，A为空集。

同理，对于B中的任意一个元素b，都不存在A中的任意一个元素a，使得(a,b)属于A和B的笛卡尔积。因此，B为空集。

因此，A和B的笛卡尔积为空集等价于A为空集或者B为空集。

证明第二个命题：

假设A为空集，那么A和B的笛卡尔积为空集，因为对于A中的任意一个元素a，都不存在B中的任意一个元素b，使得(a,b)属于A和B的笛卡尔积。

同理，若B为空集，那么A和B的笛卡尔积为空集。

因此，A为空集或者B为空集等价于A和B的笛卡尔积为空集。

综上所述，A和B的笛卡尔积为空集等价于A为空集或者B为空集。

写一段c程序语言画出笛卡尔心形曲线，给出完整的c语言代码

下面是一段可以在终端输出笛卡尔心形曲线的C语言代码：

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main() {
    int x, y;
    float t;

    for (int i = -100; i <= 100; i++) {
        for (int j = -100; j <= 100; j++) {
            x = i;
            y = j;
            t = pow(x, 2) + pow(y, 2) - 1;
            t = pow(t, 3) - pow(x, 2) * pow(y, 3);
            if (t <= 0.0) {
                printf("*");
            } else {
                printf(" ");
            }
        }
        printf("\n");
    }

    return 0;
}

这段代码使用了两层循环，对于每个点（x, y），根据笛卡尔心形曲线的方程计算出 t 值，然后判断是否在曲线上，最终输出一个星号或空格。这样就可以在终端上画出笛卡尔心形曲线了。