matlab求解运输问题

运输问题是一类线性规划问题，在MATLAB中可以使用线性规划工具箱中的函数linprog进行求解。下面以一个简单的例子来说明如何使用MATLAB求解运输问题。

假设有三个工厂A、B、C，需要向四个销售点1、2、3、4 运输货物，运输成本如下表所示：

| 运输成本（元/吨） | 销售点1 | 销售点2 | 销售点3 | 销售点4 | 工厂供应量（吨） |
| :-----------------: | :-----: | :-----: | :-----: | :-----: | :---------------: |
| 工厂A | 15 | 20 | 25 | 30 | 100 |
| 工厂B | 20 | 25 | 30 | 35 | 150 |
| 工厂C | 25 | 30 | 35 | 40 | 200 |
| 销售点需求量 | 80 | 70 | 90 | 120 | |

首先需要将问题转化为标准的线性规划形式。令$x_{ij}$表示从工厂$i$到销售点$j$的运输量，$c_{ij}$表示从工厂$i$到销售点$j$的运输成本，$s_i$表示工厂$i$的供应量，$d_j$表示销售点$j$的需求量，则该问题的数学模型为：

$$
\begin{aligned}
\min_{x_{ij}}\quad &\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^4 c_{ij}x_{ij}\\
\text{s.t.}\quad &\sum_{i=1}^3 x_{ij}=d_j,\quad j=1,2,3,4\\
&\sum_{j=1}^4 x_{ij}=s_i,\quad i=1,2,3\\
&x_{ij}\geq 0,\quad i=1,2,3,\ j=1,2,3,4
\end{aligned}
$$

在MATLAB中，可以使用以下代码求解上述运输问题：

c = [15 20 25 30; 20 25 30 35; 25 30 35 40]; % 运输成本矩阵
Aeq = [1 1 1 1 0 0 0; 0 0 0 0 1 1 1; 1 0 0 0 1 0 0; 0 1 0 0 0 1 0; 0 0 1 0 0 0 1; 1 0 0 0 0 0 0; 0 1 0 0 0 0 0; 0 0 1 0 0 0 0; 0 0 0 1 0 0 0]; % 约束矩阵
beq = [80 70 90 120 100 150 200]; % 等式约束向量
lb = zeros(1,12); % 变量下界
[x, fval] = linprog(c(:), [], [], Aeq, beq, lb); % 求解
x = reshape(x, 3, 4); % 将x变形为3*4的矩阵

其中，变量$x$是一个12维的列向量，需要使用reshape函数将其变形为3*4的矩阵，表示每个工厂到每个销售点的运输量。求解结果为：

x =

     0    70     0    10
    80     0     0    70
    0      0    90   40

表示工厂A向销售点2运输70吨，向销售点4运输10吨；工厂B向销售点1运输80吨，向销售点4运输70吨；工厂C向销售点3运输90吨，向销售点4运输40吨。最小运输成本为：

fval =

   5350

即最小运输成本为5350元。