可逆方阵 A, B,C 满足 ABC = E，则必有

A = B-1C-1。

证明如下：

因为 ABC = E，所以有 C = A-1B-1。

将 C 代入原式得 AB(A-1B-1) = E，移项得 AB = (A-1B-1)-1。

因此，B-1A-1 = (A-1B-1)-1。

两边同时取逆得 A-1B-1 = (B-1A-1)-1。

因此，C = A-1B-1 = B-1A-1。

因此，A = B-1C-1。

相关问题

A,B,C均为n阶矩阵，且ABC=E，则必有？

### 回答1：
如果 $A$, $B$ 和 $C$ 都是 $n$ 阶矩阵，且 $ABC=E$，其中 $E$ 是 $n$ 阶单位矩阵，则有以下结论：

1. $A$，$B$，$C$ 都是可逆矩阵，且它们的逆矩阵分别为 $B^{-1}C^{-1}$，$A^{-1}C^{-1}$ 和 $A^{-1}B^{-1}$。
2. $A^{-1}=BC$，$B^{-1}=CA$ 和 $C^{-1}=AB$。

可以证明，如果 $ABC=E$，则 $A$，$B$，$C$ 都是可逆矩阵。因此，我们可以对等式 $ABC=E$ 两边同时左乘 $A^{-1}$，得到 $BC=A^{-1}$。同理，左乘 $B^{-1}$ 和 $C^{-1}$，可以得到 $CA=B^{-1}$ 和 $AB=C^{-1}$。

因此，结论1成立。

另外，由 $ABC=E$，可以得到 $A^{-1}ABC=A^{-1}E$，即 $BC=A^{-1}$。同理，左乘 $A$ 和 $C$，可以得到 $B^{-1}=CA$ 和 $C^{-1}=AB$。因此，结论2也成立。

### 回答2：
根据矩阵乘法的结合律，由题设可知，矩阵B与矩阵C相乘的结果与矩阵A相乘的结果相等，即BC=A⁻¹。又由矩阵乘法的结合律，可知A的逆矩阵乘以B与C的乘积等于E，即A⁻¹(BC)=E。综上所述，如果A、B、C均为n阶矩阵且ABC=E，则必有A的逆矩阵存在，且A的逆矩阵乘以B与C的乘积等于E。

### 回答3：
根据矩阵乘法的结合律，假设矩阵A为n阶矩阵，则A*B的结果为n阶矩阵，再与C相乘得到的结果也为n阶矩阵。所以，根据矩阵乘法的结合律，(A*B)*C= A*(B*C)。根据已知条件，ABC=E，将其写成矩阵乘法形式为(A*B)*C=E=A*(B*C)。根据矩阵乘法的可逆性，对于任意矩阵A，存在一个矩阵A'，使得A*A'=A'*A=E。所以，由(A*B)*C=A*(B*C)可知，(A*B)*C=(A*B)*C。综上所述，根据已知条件ABC=E，可以推断必定有(A*B)*C=A*(B*C)成立。

A,B,C均为n阶矩阵，且ABC=E，则必有CBA=E吗？

由于矩阵乘法不满足交换律，所以不能直接得出CBA=E。但是可以通过计算证明CBA=E。具体证明如下：

首先，根据题意，有ABC=E，两边同时左乘C的逆矩阵，得到：C^-1ABC=C^-1E，即BA=C^-1，因此BA是可逆矩阵。

接下来，我们可以将CBA乘以任意一个向量x，验证CBAx=x是否成立。具体地，有：

CBAx=C(BAx) // 结合律

C(BAx)=Cx // ABC=E，即C^-1=C^T

(C^TBAx)^T=x^T // 因此 C^-1=C^T

x^T=C^TBAx // 两边同时转置

x^T=(CBAx)^T // 因此 C^T=C^-1

因此，对于任意的向量x，都有CBAx=x，即CBA=E，证毕。