用matlab迭代法求解f(x)=x^2+sin(10*x)-1=0的所有根

可以使用 MATLAB 中的迭代算法来解决非线性方程组。其中一个经典的迭代算法是牛顿迭代法。下面是使用牛顿迭代法求解 $f(x)=x^2 \sin(10x)-1=0$ 的所有根的 MATLAB 代码：

% 定义函数
f = @(x) x.^2 .* sin(10.*x) - 1;
% 定义函数的导数
df = @(x) 2.*x.*sin(10.*x) + 10.*x.^2.*cos(10.*x);

% 设置初始值和迭代次数
x0 = -1:0.1:1;
N = 100;

% 使用牛顿迭代法求解
for i = 1:length(x0)
    x = x0(i);   % 初始值
    for j = 1:N
        x = x - f(x) / df(x);   % 迭代公式
        if abs(f(x)) < 1e-6    % 控制精度
            disp(['根为：', num2str(x)]);
            break
        end
    end
end

这里我们定义了函数 $f(x)=x^2 \sin(10x)-1$ 和其导数 $f'(x)=2x \sin(10x) + 10x^2 \cos(10x)$，然后使用一个循环来对不同的初始值进行迭代，直到函数值的绝对值小于 $10^{-6}$，就认为找到了一个根。最后输出所有的根。

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MATLAB中可以使用牛顿迭代法（Newton's Method）来近似求解非线性方程。对于给定的函数 \( f(x,y) = \sin(x^2 + y^2) \cdot e^{-0.1(x^2 + y^2 + xy + 2x)} \)，我们可以使用`fsolve`函数，该函数是优化工具箱的一部分，专门用于数值求解非线性方程组。

首先，需要定义函数及其梯度，并设置搜索范围。这里是一个简化的示例代码：

% 定义函数
fun = @(x) sin(x(1)^2 + x(2)^2) .* exp(-0.1 * (x(1).^2 + x(2).^2 + x(1).*x(2) + 2.*x(1)));

% 初始化点在 [-2, 2] 区间内
x0 = [-2; -2]; % 可视化或尝试其他初始值

% 使用fsolve函数求解
options = optimoptions('fsolve', 'Display', 'iter'); % 显示迭代信息
[xSol, ~] = fsolve(fun, x0, options);

% 检查结果
disp("Solution: x =", xSol);

运行此代码后，`xSol`将存储找到的函数零点估计值。注意，牛顿迭代法对初始猜测敏感，如果初始点选择不合适，可能无法收敛或收敛速度慢。你可以尝试改变初始值 `x0` 或调整 `fsolve` 函数中的选项来改善性能。

用牛顿迭代法求f(x,y)=sin(x.^2 + y.^2) .* exp(-0.1 .* (x.^2 + y.^2 + x.*y + 2*x));在-2=<x,y<=2内的极小值点的matlab代码，要求不引用库函数

为了使用牛顿迭代法在无库函数的情况下求解给定函数 `f(x, y) = \sin(x^2 + y^2) \cdot e^{-0.1 \cdot (x^2 + y^2 + xy + 2x)}` 的极小值点，我们需要手动编写梯度和Hessian矩阵的计算。这里是一个简单的例子，展示了如何逐步实现这个过程：

首先，我们定义函数及其一阶和二阶导数（梯度和Hessian矩阵）：

function dfdx = gradient_f(x, y)
    dfdx(1) = 2 * x * cos(x^2 + y^2) * exp(-0.1 * (x^2 + y^2 + x*y + 2*x)) - 0.2 * x * sin(x^2 + y^2) * exp(-0.1 * (x^2 + y^2 + x*y + 2*x));
    dfdx(2) = 2 * y * cos(x^2 + y^2) * exp(-0.1 * (x^2 + y^2 + x*y + 2*x)) - 0.2 * x * y * exp(-0.1 * (x^2 + y^2 + x*y + 2*x));
end

function dfdxx = hessian_f(x, y)
    dfdxx(1, 1) = 4 * x^2 * cos(x^2 + y^2) * exp(-0.1 * (x^2 + y^2 + x*y + 2*x)) - 0.2 * (2 * x^2 + 2 * y^2 + 2 * xy + 4) * sin(x^2 + y^2) * exp(-0.1 * (x^2 + y^2 + x*y + 2*x)) - 0.2 * x * exp(-0.1 * (x^2 + y^2 + x*y + 2*x));
    dfdxx(1, 2) = dfdxx(2, 1) = 2 * x * y * (-2 * cos(x^2 + y^2) + exp(-0.1 * (x^2 + y^2 + x*y + 2*x))) - 0.2 * y * exp(-0.1 * (x^2 + y^2 + x*y + 2*x));
    
    dfdxx(2, 2) = 4 * y^2 * cos(x^2 + y^2) * exp(-0.1 * (x^2 + y^2 + x*y + 2*x)) - 0.2 * (2 * x^2 + 2 * y^2 + 2 * xy + 4) * sin(x^2 + y^2) * exp(-0.1 * (x^2 + y^2 + x*y + 2*x)) - 0.2 * x * y * exp(-0.1 * (x^2 + y^2 + x*y + 2*x));
end

然后，你可以编写牛顿迭代法的主循环来搜索极小值：

function [min_point, min_value] = find_minima()
    lower_bound = [-2, -2];
    upper_bound = [2, 2];

    % 设置初始点和迭代设置
    initial_guess = [0, 0];
    max_iterations = 100;
    tolerance = 1e-6;

    x = initial_guess;
    for i = 1:max_iterations
        % 计算梯度和Hessian
        [grad, hess] = [gradient_f(x(1), x(2)), hessian_f(x(1), x(2))];
        
        % 检查边界条件
        if all(x >= lower_bound & x <= upper_bound)
            % 牛顿迭代
            dx = inv(hess) \ -grad;
            x = x + dx;
            
            % 收敛测试
            if norm(dx) < tolerance
                break;
            end
        else
            warning('已到达边界，可能无法找到内部极小值');
            break;
        end
    end
    
    % 输出结果
    min_point = x;
    min_value = f(min_point(1), min_point(2)); % 使用函数计算最小值
end
[min_point, min_value]

注意：这只是一个基础示例，实际应用中可能需要添加更多的错误处理和迭代策略优化。