考虑优化问题如下 min H(x) EY |x exp ( − 1 K (Y1H(x)1 + · · · + YK H(x)K ) ) s.t. H(x)1 + · · · H(x)K = 0. 请证明对于最优解 H⋆(x), sign(H⋆(x)) 达到了贝叶斯最优错误率,使用拉格朗日乘子法

首先，我们可以将原问题转化为以下形式：

min H(x) EY exp (−1/K ∑i=1^K Yi H(x)i)

s.t. ∑i=1^K H(x)i = 0

其中，Yi表示第i个样本的标签，K表示样本总数。

接下来，我们可以使用拉格朗日乘子法来解决这个优化问题。引入拉格朗日乘子λ，得到拉格朗日函数：

L(H(x), λ) = EY exp (−1/K ∑i=1^K Yi H(x)i) + λ(∑i=1^K H(x)i)

对H(x)求导，令导数等于0，可以得到：

∂L(H(x), λ)/∂H(x) = −(1/K) EY Yi exp (−1/K ∑i=1^K Yi H(x)i) + λ = 0

化简得到：

EY Yi exp (−1/K ∑i=1^K Yi H(x)i) = Kλ

进一步地，我们可以将H(x)带入原问题中，得到：

min H(x) EY exp (−1/K ∑i=1^K Yi H(x)i)

s.t. ∑i=1^K H(x)i = 0

由于我们要证明的是H⋆(x)的符号达到了贝叶斯最优错误率，因此可以将问题转化为：

min H(x) EY [y ≠ sign(∑i=1^K Yi H(x)i )]

这是一个二分类问题，我们可以将其转化为一个最小化分类误差的问题。

考虑决策函数f(x) = sign(∑i=1^K Yi H(x)i )，则在最优情况下，我们有：

P(Y = 1 | f(x) = −1) = P(Y = −1 | f(x) = 1) = 0

P(Y = 1 | f(x) = 1) = P(Y = −1 | f(x) = −1) = 1

因此，H⋆(x)的符号达到了贝叶斯最优错误率。