谱元法基于GLL积分的插值基函数表达式

谱元法是一种将物理问题离散化为代数问题的方法。在谱元法中，使用插值基函数来描述物理量在每个谱元内的变化。GLL积分是一种数值积分方法，可以用来计算插值基函数的系数。

插值基函数的表达式如下：

$$
\phi_i(x) = \prod_{j=0,j\neq i}^{N} \frac{x-x_j}{x_i-x_j}
$$

其中，$N$为谱元的节点数，$x_i$为第$i$个节点的位置，$x$为插值点的位置。这个表达式表示了在每个节点处，插值基函数的取值为1，而在其他节点处，插值基函数的取值为0。在节点之间，插值基函数的取值通过分段多项式的形式来进行插值。

为了计算插值基函数的系数，可以使用GLL积分。GLL积分的表达式如下：

$$
\int_{-1}^{1} \phi_i(x) \phi_j(x) \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = w_i\delta_{ij}
$$

其中，$w_i$为节点$i$处的权重，$\delta_{ij}$为Kronecker delta。这个表达式表示了插值基函数之间的正交性。

通过计算GLL积分可以得到插值基函数的系数：

$$
c_i = \sum_{j=0}^{N} \phi_j(x_i)w_j
$$

其中，$c_i$为第$i$个插值基函数的系数。这个系数可以用来表示在每个谱元内，物理量的离散值。