用c语言编出用Romberg积分方法数值求积的子程序，计算I(fi)的近似值,f1(x)=√x,f2(x)=1/(1+x).f3(x)=2/(2+sin10Π),[a,b]=[0,1],当|T(j)k+1-T(j-1)k+1|≤10-6时，输出I(fi)的近似值T(j)k+1

以下是用C语言实现的Romberg积分方法数值求积的子程序：

#include <stdio.h>
#include <math.h>

double f1(double x) { return sqrt(x); }
double f2(double x) { return 1 / (1 + x); }
double f3(double x) { return 2 / (2 + sin(10 * M_PI * x)); }

double romberg(double (*f)(double), double a, double b, double eps) {
    double T[20][20] = {0};  // 初始化二维数组
    double h = b - a;
    T[0][0] = 0.5 * h * (f(a) + f(b));  // 计算 T(0,0)
    int k = 1;
    while (1) {
        // 计算 T(k,0)
        double sum = 0;
        for (int i = 1; i <= pow(2, k - 1); ++i) {
            double x = a + (i - 0.5) * h;
            sum += f(x);
        }
        T[k][0] = 0.5 * T[k - 1][0] + h * sum;
        // 计算 T(k,j) (j>=1)
        double q = 1;
        for (int j = 1; j <= k; ++j) {
            q *= 4;
            T[k][j] = (q * T[k][j - 1] - T[k - 1][j - 1]) / (q - 1);
        }
        // 判断是否满足精度要求
        if (fabs(T[k][k] - T[k - 1][k - 1]) <= eps) {
            break;
        }
        ++k;
        h /= 2;
    }
    return T[k][k];
}

int main() {
    double eps = 1e-6;  // 精度
    double a = 0, b = 1; // 积分区间
    double I1 = romberg(f1, a, b, eps);
    double I2 = romberg(f2, a, b, eps);
    double I3 = romberg(f3, a, b, eps);
    printf("I(f1) ≈ %.6f\n", I1);
    printf("I(f2) ≈ %.6f\n", I2);
    printf("I(f3) ≈ %.6f\n", I3);
    return 0;
}

在上述代码中，`romberg` 函数用于计算函数的积分近似值。其中，`f` 为被积函数，`a` 和 `b` 为积分区间，`eps` 为精度要求。该函数返回积分近似值。

在 `main` 函数中，我们分别计算了三个函数 `f1`、`f2` 和 `f3` 在区间 `[0, 1]` 上的积分近似值。