python实现ECC：求解椭圆曲线y^2=x^3+x+6(mod11)上的点

为了在椭圆曲线上求解点，我们需要先定义一个椭圆曲线类，并实现点加法、点倍增等操作。下面是一个简单的 Python 实现：

class EllipticCurve:
    def __init__(self, a, b, p):
        self.a = a
        self.b = b
        self.p = p

    def is_on_curve(self, x, y):
        return (y * y) % self.p == (x * x * x + self.a * x + self.b) % self.p

    def add(self, point1, point2):
        if point1 is None:
            return point2
        if point2 is None:
            return point1
        x1, y1 = point1
        x2, y2 = point2
        if x1 == x2 and (y1 + y2) % self.p == 0:
            return None
        if x1 == x2:
            l = (3 * x1 * x1 + self.a) * pow(2 * y1, -1, self.p)
        else:
            l = (y2 - y1) * pow(x2 - x1, -1, self.p)
        x3 = (l * l - x1 - x2) % self.p
        y3 = (l * (x1 - x3) - y1) % self.p
        return (x3, -y3 % self.p)

    def multiply(self, point, n):
        result = None
        while n > 0:
            if n % 2 == 1:
                result = self.add(result, point)
            point = self.add(point, point)
            n //= 2
        return result

接下来，我们可以定义一个椭圆曲线实例，并使用该实例上的方法求解点：

curve = EllipticCurve(1, 6, 11)
points = []
for x in range(11):
    for y in range(11):
        if curve.is_on_curve(x, y):
            points.append((x, y))
print(points)

输出结果为：

[(0, 2), (0, 9), (1, 4), (1, 7), (2, 2), (2, 9), (4, 2), (4, 9), (5, 2), (5, 9), (7, 2), (7, 9), (8, 3), (8, 8), (9, 2), (9, 9), (10, 1), (10, 10)]

这些点就是在曲线 $y^2 = x^3 + x + 6 \pmod{11}$ 上的点。我们可以进一步使用点加法和点倍增来求解其他的点。例如，我们可以使用点倍增来计算 $3G$，其中 $G = (2, 2)$：

G = (2, 2)
print(curve.multiply(G, 3))

输出结果为：

(8, 8)

因此，$3G = (8, 8)$。