如何求解2*3形式收益矩阵的混合纳什均衡

对于一个2*3形式的收益矩阵，我们可以使用线性规划来求解混合纳什均衡。具体步骤如下：

1. 首先，我们需要将矩阵转化为标准形式，即将其转化为一个3*2的矩阵。这可以通过将原矩阵的转置来实现。

2. 接下来，我们需要定义两个变量x和y，分别表示玩家1和玩家2在混合策略中选择第一列和第二列的概率。

3. 我们需要定义两个线性规划目标函数，分别表示玩家1和玩家2的期望收益。这可以通过将每个玩家选择某一列的概率乘以该列中每个策略的收益，并求和来实现。

4. 我们需要添加两个约束条件，分别保证x和y的取值在0到1之间，并且两者之和等于1，即玩家必须选择某一列的概率之和为1。

5. 最后，我们需要使用线性规划求解器来求解这个问题，并得到混合纳什均衡的概率分布。

需要注意的是，由于线性规划求解器的不同，具体的求解步骤可能会有所不同。

相关问题

求解混合纳什均衡策略，收益矩阵为2*3矩阵（[1,2,4],[6,4,3])

好的，我会根据您提供的信息来为您解答问题。

首先，混合纳什均衡是指在博弈论中，所有玩家都采用混合策略时所达到的均衡状态。在一个混合策略中，每个玩家都以一定的概率选择不同的纯策略。

然后，根据您提供的收益矩阵，我们可以列出两个玩家的收益表：

      | L  | M  | R  |
---------------------
  A   | 1  | 2  | 4  |
---------------------
  B   | 6  | 4  | 3  |
---------------------

其中，A和B是两个玩家可选的策略，L、M、R是两个玩家可选的纯策略，每个玩家采用混合策略时会以一定的概率选择不同的纯策略。我们用 $p_L^A$ 表示A玩家在混合策略中选择L的概率，用 $p_M^A$ 和 $p_R^A$ 分别表示A玩家在混合策略中选择M和R的概率。同样地，用 $p_L^B$、$p_M^B$ 和 $p_R^B$ 分别表示B玩家在混合策略中选择L、M和R的概率。

现在，我们需要求解混合纳什均衡策略，即找到一组概率 $(p_L^A, p_M^A, p_R^A, p_L^B, p_M^B, p_R^B)$，使得双方玩家都无法通过改变自己的混合策略来获得更高的收益。

解决这个问题的一种方法是使用线性规划。我们首先将双方玩家的收益函数表示为矩阵形式：

      | L  | M  | R  |
---------------------
  A   | 1  | 2  | 4  |
---------------------
  B   | 6  | 4  | 3  |
---------------------

其中，$u_A$ 和 $u_B$ 是分别表示A和B玩家的收益函数向量。我们将 $u_A$ 和 $u_B$ 横向排列，得到一个 $1\times 6$ 的矩阵 $u$：

  | u_A_L  u_A_M  u_A_R  u_B_L  u_B_M  u_B_R |

我们还需要将双方玩家的混合策略表示为矩阵形式。为了方便起见，我们将A玩家的混合策略表示为一个 $1\times 3$ 的矩阵 $p_A$，其中每个元素都表示A玩家在混合策略中选择对应纯策略的概率。同样地，我们将B玩家的混合策略表示为一个 $1\times 3$ 的矩阵 $p_B$。注意，由于混合策略要求各个纯策略的概率之和为1，因此 $p_A$ 和 $p_B$ 的元素之和都应该为1。

然后，我们将 $p_A$ 和 $p_B$ 纵向排列，得到一个 $2\times 3$ 的矩阵 $p$：

  | p_A_L |
  | p_A_M |
  | p_A_R |
  | p_B_L |
  | p_B_M |
  | p_B_R |

我们可以将混合策略的限制条件表示为一个矩阵形式，即：

  | 1  1  1  0  0  0 |   | p_A_L |     | 1 |
  | 0  0  0  1  1  1 | * | p_A_M |  =  | 1 |
  | 1  0  0  1  0  0 |   | p_A_R |     | 1 |
  | 1  1  1  0  0  0 |   | p_B_L |     | 1 |
  | 0  0  0  1  1  1 |   | p_B_M |  =  | 1 |
  | 1  0  0  1  0  0 |   | p_B_R |     | 1 |

其中，矩阵的左侧是一个 $6\times 3$ 的矩阵，表示混合策略的限制条件，右侧是一个 $6\times 1$ 的矩阵，表示各个限制条件的取值。

我们还需要将收益矩阵和混合策略矩阵相乘，得到一个 $1\times 6$ 的矩阵 $pu$：

  | u_A_L  u_A_M  u_A_R  u_B_L  u_B_M  u_B_R |   | p_A_L |
                                                | p_A_M |
                                                | p_A_R |
                                                | p_B_L |
                                                | p_B_M |
                                                | p_B_R |

注意，这里的 $pu$ 表示的是双方玩家采用混合策略时的期望收益。

然后，我们需要将上述限制条件和目标函数输入到线性规划模型中进行求解。由于我无法在此处为您演示线性规划的求解过程，您可以参考一些线性规划求解工具或库，如Excel、MATLAB、Python中的SciPy库等，来求解上述问题。

最终，线性规划求解器会给出一组混合纳什均衡解，即 $(p_L^A, p_M^A, p_R^A, p_L^B, p_M^B, p_R^B)$ 的值。这组值表示双方玩家在混合策略下的最优决策。

matlab求解非零和博弈的纳什均衡

在MATLAB中，求解非零和博弈（也称为合作博弈或非对称博弈）的纳什均衡通常涉及使用经济数学库中的函数，例如`gammaincinv`函数以及一些自定义的算法或者游戏理论工具箱。非零和博弈的纳什均衡寻找的是这样一种策略组合，在这个组合下，没有任何一方有动力改变其策略，使得其他人的收益不会增加。

以下是基本步骤：

1. **构建支付矩阵**：首先，你需要将博弈转换成一个二维数组，其中每个元素表示参与者的收益或损失。

2. **计算纯策略纳什均衡**：如果你的游戏是一个完全信息静态博弈（如经典的囚徒困境），可以使用`nash`函数。它返回一个包含所有均衡的向量，如果游戏有多于一个均衡，则会是一个结构体。

% 假设payoff_matrix是二维数组，玩家A在行，玩家B在列
equilibria = nash(payoff_matrix);

3. **查找混合策略纳什均衡**：对于更复杂的动态博弈或者允许随机化的策略，可能需要使用更复杂的方法，比如Fictitious Play或复制动态过程。这通常涉及到数值优化算法（如`fmincon`）或迭代方法，可能需要编写用户自定义函数。

% 使用fmincon可能的示例
options = optimoptions('fmincon','Display','iter');
result = fmincon(@my_cost_function, initial_guess, [],[],[],[],payoff_matrix,[],options);

在这里，`my_cost_function`应包含纳什均衡的条件，并且`initial_guess`是你开始搜索的策略分布猜测。

**相关问题--**
1. MATLAB有没有内置函数可以直接找到非零和博弈的所有纳什均衡？
2. 如何处理非零和博弈中的连续策略空间？
3. 如果博弈太大无法直接求解，如何简化或近似求解纳什均衡？