满足第一类边界条件的三次样条插值

三次样条插值是一种常用的插值方法，它通过在每个小区间内采用三次多项式来逼近原函数，并且保证一阶和二阶导数连续。在满足第一类边界条件的情况下，需要确定两个端点处的一阶导数值。

假设给定一组数据点 $(x_i, y_i)$，其中 $i=0,1,\ldots,n$，且 $x_0 < x_1 < \cdots < x_n$。对于每个小区间 $[x_i, x_{i+1}]$，我们可以用以下三次多项式来逼近原函数 $f(x)$：
$$
s_i(x) = a_i + b_i(x - x_i) + c_i(x - x_i)^2 + d_i(x - x_i)^3
$$
其中 $a_i, b_i, c_i, d_i$ 是待定系数。为了满足插值条件，我们需要满足以下等式：
$$
s_i(x_i) = y_i,\quad s_i(x_{i+1}) = y_{i+1}
$$
为了保证一阶导数连续，我们需要满足以下等式：
$$
s_i'(x_{i+1}) = s_{i+1}'(x_{i+1})
$$
为了保证二阶导数连续，我们需要满足以下等式：
$$
s_i''(x_{i+1}) = s_{i+1}''(x_{i+1})
$$
其中 $s_i'(x)$ 和 $s_i''(x)$ 分别表示 $s_i(x)$ 的一阶和二阶导数。根据以上等式，我们可以列出以下线性方程组：
$$
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & h_1 & h_1^2 & h_1^3 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 2h_1 & 3h_1^2 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a_0 \\ b_0 \\ c_0 \\ d_0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
y_0 \\ y_1 \\ 0 \\ 0
\end{bmatrix}
$$
$$
\begin{bmatrix}
1 & h_i & h_i^2 & h_i^3 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 2h_i & 3h_i^2 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a_i \\ b_i \\ c_i \\ d_i
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
y_i \\ y_{i+1} \\ 0 \\ 0
\end{bmatrix}
$$
其中 $h_i = x_{i+1} - x_i$。对于第一个方程组，由于我们已知 $s_0(x_0)=y_0$，因此可以确定 $a_0=y_0$。对于第二个方程组，由于我们已知 $s_n(x_n)=y_n$，因此可以确定 $a_n=y_n$。对于其余的方程组，我们需要确定一阶导数值 $s_0'(x_0)$ 和 $s_n'(x_n)$，这就是第一类边界条件。

如果我们给定了 $s_0'(x_0)$ 和 $s_n'(x_n)$，则可以进一步确定 $b_0$ 和 $b_n$，从而得到完整的三次样条插值函数 $s(x)$。具体的求解方法可以使用线性方程组的求解方法，例如高斯消元法或LU分解法。